un paio di dimostrazioni
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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un paio di dimostrazioni
Come al solito rovistando tra le mie scartoffie ho trovato un paio di quesiti algebrici che reputo interessanti e pertanto Ve li propongo
1) ogni potenza intera di una somma di due quadrati è essa pure una somma di due quadrati
cioè:
$( a^2+b^2)^m = X^2+Y^2$
2) il prodotto di cinque numeri interi consecutivi non può essere un quadrato ossia l’equazione
$x*(x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4)= Y^2$
non ammette soluzioni intere.
CIAO
1) ogni potenza intera di una somma di due quadrati è essa pure una somma di due quadrati
cioè:
$( a^2+b^2)^m = X^2+Y^2$
2) il prodotto di cinque numeri interi consecutivi non può essere un quadrato ossia l’equazione
$x*(x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4)= Y^2$
non ammette soluzioni intere.
CIAO
Re: un paio di dimostrazioni
2) Forse è troppo banale per essere giusta ma... tra cinque numeri consecutivi ce n'è sicuramente uno (e uno solo) multiplo di 5.
Ma in un numero quadrato ogni fattore primo deve comparire elevato a una potenza pari, sicché il prodotto in questione non è un quadrato perfetto. QED
Ciao
0-§
Ma in un numero quadrato ogni fattore primo deve comparire elevato a una potenza pari, sicché il prodotto in questione non è un quadrato perfetto. QED
Ciao
0-§
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
Re: un paio di dimostrazioni
L'obiezione del 5 cade se si considerano i numeri 23, 24, 25, 26, 27.
Il loro prodotto non è un quadrato ma è sicuramente divisibile per $5^2$
ciao
Vittorio
Il loro prodotto non è un quadrato ma è sicuramente divisibile per $5^2$
ciao
Vittorio
Vittorio
Re: un paio di dimostrazioni
Per il 2° quesito, escludendo le sequenze contenenti lo zero, per le quali la relazione è invece verificata, poniamo che sia:
$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)=Y^2\\n(n^4-5n^2+4)=Y^2\\n^4-5n^2+4=\frac{Y^2}{n}$
esamino i due casi possibili, in cui il secondo termine sia un intero:
A) per $\text n=x; Y^2=x^2\cdot K^2; x^4-5x^2+4=xK^2$
B) per $\text n=x^2; Y^2=x^2\cdot K^2; x^8-5x^4+4=K^2$
Nel caso A), dovrebbe essere:
$\frac {x^4-5x^2+4}{x}=K^2\\x^3-5x+\frac{4}{x}=K^2$
ma, affinché il primo membro sia intero, x può assumere solo il valore di 4, per il quale il primo membro non è un quadrato (per x=1 o x=2 la sequenza conterrebbe uno zero).
Nel caso B), notiamo che il trinomio $x^8-5x^4+4$, per la sua conformazione, potrebbe essere solo il quadrato di $(x^4 - 2)^2$, unico in grado di generare i termini $\text x^8 e 4$ ed un terzo termine negativo, che però dovrebbe valere $\text -4x^4 e non -5x^4$
Il tutto salvo abbagli o omissioni.
$(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)=Y^2\\n(n^4-5n^2+4)=Y^2\\n^4-5n^2+4=\frac{Y^2}{n}$
esamino i due casi possibili, in cui il secondo termine sia un intero:
A) per $\text n=x; Y^2=x^2\cdot K^2; x^4-5x^2+4=xK^2$
B) per $\text n=x^2; Y^2=x^2\cdot K^2; x^8-5x^4+4=K^2$
Nel caso A), dovrebbe essere:
$\frac {x^4-5x^2+4}{x}=K^2\\x^3-5x+\frac{4}{x}=K^2$
ma, affinché il primo membro sia intero, x può assumere solo il valore di 4, per il quale il primo membro non è un quadrato (per x=1 o x=2 la sequenza conterrebbe uno zero).
Nel caso B), notiamo che il trinomio $x^8-5x^4+4$, per la sua conformazione, potrebbe essere solo il quadrato di $(x^4 - 2)^2$, unico in grado di generare i termini $\text x^8 e 4$ ed un terzo termine negativo, che però dovrebbe valere $\text -4x^4 e non -5x^4$
Il tutto salvo abbagli o omissioni.
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E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: un paio di dimostrazioni
Il quesito 1) è troppo complicato per me, per cui mi limito al solo caso per m=2 (meglio che niente):
$(a^2+b^2)^2 = a^4+b^4+4a^2b^2-2a^2b^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2$
$(a^2+b^2)^2 = a^4+b^4+4a^2b^2-2a^2b^2=(a^2-b^2)^2+(2ab)^2$
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Re: un paio di dimostrazioni
a zerinf:
peccato !
era una dimostrazione semplice ed elegante; peccato fosse sbagliata.
In bocca al lupo !!!!!!!!!!!!!!!
peccato !
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In bocca al lupo !!!!!!!!!!!!!!!
Enrico
Re: un paio di dimostrazioni
Per il primo quesito ho pensato che si può ragionare per induzione semplice.
A tale scopo osserviamo che per m=1 l'espressione si riduce ad $a^2+b^2$ e
la tesi è banalmente vera.Per m= 2 la tesi è ancora vera come efficacemente mostrato
da Pasquale.Supponiamo dunque vera la cosa per un m generico,cioè supponiamo
che sia $(a^2+b^2)^m=X^2+Y^2$ ,e dimostriamola vera anche per m+1
Si ha:
(1) $(a^2+b^2)^{m+1}=(a^2+b^2)^m(a^2+b^2)=(X^2+Y^2)(a^2+b^2)=(aX+bY)^2+(aY-bX)^2$
Pertanto la tesi è provata anche per m+1 e dunque è provata per un qualunque m.
Nell'ultimo passaggio ho adoperato l'ovvia identità:
$(a^2+b^2)(X^2+Y^2)=(aX+bY)^2+(aY-bX)^2$
A titolo di esempio,ed approfittando della risposta di Pasquale ,applichiamo la decomposizione
(1) al caso di $(a^2+b^2)^3$
Abbiamo:
$(a^2+b^2)^3=(a^2+b^2)^2(a^2+b^2)=[(a^2-b^2)^2+(2ab)^2](a^2+b^2)=[a(a^2-b^2)+b(2ab)]^2+[a(2ab)-b(a^2-b^2)]^2$
Ed infine:
$(a^2+b^2)^3=(a^3+ab^2)^2+(a^2b+b^3)^2$
Più in generale per m dispari (=2k+1) si ha:
$(a^2+b^2)^{2k+1}=[a(a^2+b^2)^k]^2+[b(a^2+b^2)^k]^2$
a cui si può arrivare direttamente senza l'induzione.
karl
A tale scopo osserviamo che per m=1 l'espressione si riduce ad $a^2+b^2$ e
la tesi è banalmente vera.Per m= 2 la tesi è ancora vera come efficacemente mostrato
da Pasquale.Supponiamo dunque vera la cosa per un m generico,cioè supponiamo
che sia $(a^2+b^2)^m=X^2+Y^2$ ,e dimostriamola vera anche per m+1
Si ha:
(1) $(a^2+b^2)^{m+1}=(a^2+b^2)^m(a^2+b^2)=(X^2+Y^2)(a^2+b^2)=(aX+bY)^2+(aY-bX)^2$
Pertanto la tesi è provata anche per m+1 e dunque è provata per un qualunque m.
Nell'ultimo passaggio ho adoperato l'ovvia identità:
$(a^2+b^2)(X^2+Y^2)=(aX+bY)^2+(aY-bX)^2$
A titolo di esempio,ed approfittando della risposta di Pasquale ,applichiamo la decomposizione
(1) al caso di $(a^2+b^2)^3$
Abbiamo:
$(a^2+b^2)^3=(a^2+b^2)^2(a^2+b^2)=[(a^2-b^2)^2+(2ab)^2](a^2+b^2)=[a(a^2-b^2)+b(2ab)]^2+[a(2ab)-b(a^2-b^2)]^2$
Ed infine:
$(a^2+b^2)^3=(a^3+ab^2)^2+(a^2b+b^3)^2$
Più in generale per m dispari (=2k+1) si ha:
$(a^2+b^2)^{2k+1}=[a(a^2+b^2)^k]^2+[b(a^2+b^2)^k]^2$
a cui si può arrivare direttamente senza l'induzione.
karl
Re: un paio di dimostrazioni
Bella la dimostrazione al primo quesito di Karl per via induttiva .
Io ne ho trovata una per via diretta pittosto semplice . Infatti si ha:
$(a+b*\sqr{-1})^m =X+Y*\sqr{-1}$
inoltre
$(a-b*\sqr{-1})^m =X-Y*\sqr{-1*$
moltiplicando membro a membo si ottiene immediatamente
$(a^2+b^2)^m =X^2+Y^2$
per quanto concerne il secondo quesito ottima la dimostrazione di Pasquale ... se volete potete cimentarvi a dimostrare che il prodotto di 6-7-8-9-10-11 numeri consecutivi non ammette soluzione analoga a quella esposta sopra.
CIAO
Io ne ho trovata una per via diretta pittosto semplice . Infatti si ha:
$(a+b*\sqr{-1})^m =X+Y*\sqr{-1}$
inoltre
$(a-b*\sqr{-1})^m =X-Y*\sqr{-1*$
moltiplicando membro a membo si ottiene immediatamente
$(a^2+b^2)^m =X^2+Y^2$
per quanto concerne il secondo quesito ottima la dimostrazione di Pasquale ... se volete potete cimentarvi a dimostrare che il prodotto di 6-7-8-9-10-11 numeri consecutivi non ammette soluzione analoga a quella esposta sopra.
CIAO
Re: un paio di dimostrazioni
Bella l'induzione di Karl, da cui si "deduce" che è veramente un grande.
Molto interessante e stupefacente quella di Ronfo, che non è da meno:
il mondo dell'immaginario mi ha sempre attratto, perché mi richiama alla mente la creazione (il reale dal nulla); il nulla si tramuta in realtà grazie all'intervento manipolatorio di una potenza pari; l'entità pari è una cosa speciale (due negazioni costituiscono un'affermazione, la vita nasce da una coppia); strano che la tradizione ci abbia portato a considerare speciali i numeri dispari, quali il 3, il 7 o i primi, ma non bisogna dimenticare che anche il 2 è un primo, l'unico pari, quello veramente speciale; dunque rivalutiamo il 2 in quanto fattore di potenza, di prodotto, logico.
Logico.....0,1........ci rendiamo conto? Con queste due identità, oggi si può costruire l'intelligenza artificiale.
Mi pare che nelle filosofie orientali la specialità del doppio sia ben codificata.
Molto interessante e stupefacente quella di Ronfo, che non è da meno:
il mondo dell'immaginario mi ha sempre attratto, perché mi richiama alla mente la creazione (il reale dal nulla); il nulla si tramuta in realtà grazie all'intervento manipolatorio di una potenza pari; l'entità pari è una cosa speciale (due negazioni costituiscono un'affermazione, la vita nasce da una coppia); strano che la tradizione ci abbia portato a considerare speciali i numeri dispari, quali il 3, il 7 o i primi, ma non bisogna dimenticare che anche il 2 è un primo, l'unico pari, quello veramente speciale; dunque rivalutiamo il 2 in quanto fattore di potenza, di prodotto, logico.
Logico.....0,1........ci rendiamo conto? Con queste due identità, oggi si può costruire l'intelligenza artificiale.
Mi pare che nelle filosofie orientali la specialità del doppio sia ben codificata.
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Re: un paio di dimostrazioni
Complimenti vivissimi a Pasquale, Karl e soprattuto a Ronfo!
Io ero arrivato a una dimostrazione per induzione simile a quella di Karl, ma non mi aveva neppure sfiorato un'idea come quella di Ronfo.
E' davvero quel che si chiama un'illuminazione!
Chissà quali sviluppi potrebbe avere...
Pasquale, hai scritto:
Gianfranco
Io ero arrivato a una dimostrazione per induzione simile a quella di Karl, ma non mi aveva neppure sfiorato un'idea come quella di Ronfo.
E' davvero quel che si chiama un'illuminazione!
Chissà quali sviluppi potrebbe avere...
Pasquale, hai scritto:
Che cosa significa?Mi pare che nelle filosofie orientali la specialità del doppio sia ben codificata.
Gianfranco
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: un paio di dimostrazioni
Mi volevo riferire sempre al 2 come rappresentazione numerica delle forze dello Yin e dello Yang, di cui ho letto qualche volta, invero senza approfondire.
Nel pensiero orientale, dalla interazione tra le forze dello Yin e dello Yang nascono tutte le forme di vita (è anche questo un esempio del valore attribuito alle entità di ordine pari).
Dello Yin e dello Yang viene spesso data una rappresentazione grafica, come in questo esempio o in quest'altro
Credo debba trattarsi del concetto degli opposti-complementari (l'uomo e la donna, il bene e il male, la luce e il buio, l'essere e il non essere, ecc.) di cui è permeato l'universo intero.
Di più non so dire, ma comunque volevo rivalutare i numeri pari e porre in particolare evidenza il valore del 2, che oltre le particolarità già note, ne possiede forse alcune ancora da scoprire (probabilmente Pitagora saprebbe dirci qualcosa di più).
Nel pensiero orientale, dalla interazione tra le forze dello Yin e dello Yang nascono tutte le forme di vita (è anche questo un esempio del valore attribuito alle entità di ordine pari).
Dello Yin e dello Yang viene spesso data una rappresentazione grafica, come in questo esempio o in quest'altro
Credo debba trattarsi del concetto degli opposti-complementari (l'uomo e la donna, il bene e il male, la luce e il buio, l'essere e il non essere, ecc.) di cui è permeato l'universo intero.
Di più non so dire, ma comunque volevo rivalutare i numeri pari e porre in particolare evidenza il valore del 2, che oltre le particolarità già note, ne possiede forse alcune ancora da scoprire (probabilmente Pitagora saprebbe dirci qualcosa di più).
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Re: un paio di dimostrazioni
Per Pasquale sul 2° quesito.
Forse mi sfugge qualcosa e purtroppo mi tocca
correre, ma tu indichi solo due casi possibili,
mentre a me sembra che se ne possa dare
anche un terzo. Ti faccio un esempio. Se non
capisco male, considerando Y=900=6²·5², tu
supponi solo che sia n=6 oppure n=5² (dico a
caso), ma secondo me potremmo anche supporre
che sia n=180 e quindi Y=180·5, per cui il
rapporto Y/n non avrebbe le forma "xK²" o "K²",
rispettivamente per n=x e n=x²
Poi, magari, la sostanza del tuo ragionamento
non cambia, per capirlo devo tornarci sopra. Però
mi ha colpito questa cosa.
Va be'... se ho scritto qualche sciocchezza fai
finta di niente
Volo!
Forse mi sfugge qualcosa e purtroppo mi tocca
correre, ma tu indichi solo due casi possibili,
mentre a me sembra che se ne possa dare
anche un terzo. Ti faccio un esempio. Se non
capisco male, considerando Y=900=6²·5², tu
supponi solo che sia n=6 oppure n=5² (dico a
caso), ma secondo me potremmo anche supporre
che sia n=180 e quindi Y=180·5, per cui il
rapporto Y/n non avrebbe le forma "xK²" o "K²",
rispettivamente per n=x e n=x²
Poi, magari, la sostanza del tuo ragionamento
non cambia, per capirlo devo tornarci sopra. Però
mi ha colpito questa cosa.
Va be'... se ho scritto qualche sciocchezza fai
finta di niente
Volo!
Bruno
Re: un paio di dimostrazioni
E' vero Bruno, anche se vai di fretta, hai l'occhio lungo forse avrei dovuto dilungarmi di più.
In effetti, ho fatto un'affermazione senza giustificarla e la tua osservazione è giusta, specie se la cosa non balza evidente.
Tu dici che per un $Y^2=x\cdot x\cdot K\cdot K$, la x possa assumere ad esempio il valore di $x\cdot x\cdot K$, per cui ci si troverebbe nella situazione
$x^4-5x^2+4=K$
in cui sarebbe difficile procedere con la dimostrazione.
Penso che non sia possibile trovarsi nella situazione che hai ipotizzato, perché non bisogna dimenticare che la n=x rappresenta il termine centrale di una sequenza di 5 numeri consecutivi, in cui se il centrale è pari o dispari, ai suoi lati esistono sempre 2 numeri pari, contenenti cioè almeno due 2, che moltiplicati fra loro danno un 4, cioè un quadrato appartenente ai divisori del K rimanente, che come tale sarebbe sempre un $xK^2$ o un K^2.
Insomma, il K rimanente resta sempre il prodotto di almeno 4 numeri, quelli a lato della n centrale, ed avremo sempre x<K, con K non primo e contenente almeno un quadrato pari.
In effetti, ho fatto un'affermazione senza giustificarla e la tua osservazione è giusta, specie se la cosa non balza evidente.
Tu dici che per un $Y^2=x\cdot x\cdot K\cdot K$, la x possa assumere ad esempio il valore di $x\cdot x\cdot K$, per cui ci si troverebbe nella situazione
$x^4-5x^2+4=K$
in cui sarebbe difficile procedere con la dimostrazione.
Penso che non sia possibile trovarsi nella situazione che hai ipotizzato, perché non bisogna dimenticare che la n=x rappresenta il termine centrale di una sequenza di 5 numeri consecutivi, in cui se il centrale è pari o dispari, ai suoi lati esistono sempre 2 numeri pari, contenenti cioè almeno due 2, che moltiplicati fra loro danno un 4, cioè un quadrato appartenente ai divisori del K rimanente, che come tale sarebbe sempre un $xK^2$ o un K^2.
Insomma, il K rimanente resta sempre il prodotto di almeno 4 numeri, quelli a lato della n centrale, ed avremo sempre x<K, con K non primo e contenente almeno un quadrato pari.
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Re: un paio di dimostrazioni
C'è qualcosa che non mi convince, Pasquale
Spero di trovare un po' di tempo per tornarci
sopra.
Ho visto che sei anche una POETA: grande!
Ah... poi ne approfitto per festeggiare la tua
Ottava Tacca Verde
Spero di trovare un po' di tempo per tornarci
sopra.
Ho visto che sei anche una POETA: grande!
Ah... poi ne approfitto per festeggiare la tua
Ottava Tacca Verde
Bruno
Re: un paio di dimostrazioni
Bruno, non mi ero accorto delle 8 tacche, ma so che tu ne hai di più, se facciamo la somma Bruno+Bruno1.
Intanto, mi stai insinuando il dubbio nella mia autoconvinzione, perché in sostanza il caso n=x non quadrato non ti pare che si esaurisca nel solo caso A.
Vediamo di ragionare sull'operazione di divisione per n=x del presunto $Y^2$:
quando divido $Y^2$, cancello dai suoi fattori componenti il valore di x, che non è un quadrato, e mi restano tutti gli altri, fra cui un 4.
Come avrebbe dovuto essere composto Y^2 per essere un quadrato?
$Y^2 = 4\cdot x\cdot\ K$
Se K=1, allora Y^2=4x non è un quadrato, considerata l'ipotesi di x non quadrato;
Se K>1, effettuata la divisione per x, il quoziente è 4K, ove un eventuale K quadrato ci porterebbe ad un ipotesi iniziale di $Y^2=4xK^2$, che non può essere un quadrato, considerata l'ipotesi di x non quadrato;
se invece K non è un quadrato, allora casca l'asino e questo è il terzo caso invocato da Bruno.
La questione va meditata, oppure bisogna cambiare strada, ma al momento, per un po' di tempo, devo dedicarmi ad altre questioni.
Bravo, occhio di lince!
Intanto, mi stai insinuando il dubbio nella mia autoconvinzione, perché in sostanza il caso n=x non quadrato non ti pare che si esaurisca nel solo caso A.
Vediamo di ragionare sull'operazione di divisione per n=x del presunto $Y^2$:
quando divido $Y^2$, cancello dai suoi fattori componenti il valore di x, che non è un quadrato, e mi restano tutti gli altri, fra cui un 4.
Come avrebbe dovuto essere composto Y^2 per essere un quadrato?
$Y^2 = 4\cdot x\cdot\ K$
Se K=1, allora Y^2=4x non è un quadrato, considerata l'ipotesi di x non quadrato;
Se K>1, effettuata la divisione per x, il quoziente è 4K, ove un eventuale K quadrato ci porterebbe ad un ipotesi iniziale di $Y^2=4xK^2$, che non può essere un quadrato, considerata l'ipotesi di x non quadrato;
se invece K non è un quadrato, allora casca l'asino e questo è il terzo caso invocato da Bruno.
La questione va meditata, oppure bisogna cambiare strada, ma al momento, per un po' di tempo, devo dedicarmi ad altre questioni.
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