Questa è l'idea che mi è venuta in mente.

Ricordo velocemente le principali relazioni
che coinvolgono l'inraggio, il circumraggio,
i raggi delle circonferenze exincritte e l'area
di un triangolo qualsiasi:

1) $\;\frac 1 r = \frac 1 {r_a}+ \frac 1 {r_b}+ \frac 1 {r_c}$

2) $\;4R+r = r_a+r_b+r_c$

3) $\;A^2 = r_ar_br_cr$

Un po' come apparecchiare la tavola

Richiamo le due relazioni indicate da Karl:

$\frac {r_a}{R}+2\cdot\frac {r_b}{R}+\frac {r_c}{R}=5 \\ \, \\\frac {r_a}{R} = 1+\frac {r_c}{R}$

dalle quali ricavo queste:

$r_a = R+r_c \\ \, \\r_b = 2R-r_c.$

Combinando i primi due membri della 1
con la 2, trovo:

$4R = (r_a+r_b)+r_c-\frac {r_ar_br_c}{(r_a+r_b)r_c+r_ar_b}$

e, tenendo conto delle due relazioni ricavate
poco sopra, mi annoto:

$R = r_c -\frac {r_ar_br_c}{(r_a+r_b)r_c+r_ar_b}=\frac{(r_a+r_b)r_c^2}{(r_a+r_b)r_c+r_ar_b}= \frac{3r_c^2R}{2R^2+4r_cR-r_c^2}$

da cui ottengo:

$2r_c^2-2r_cR-R^2 = 0$

che mi dà successivamente:

$r_c=\frac{\sqrt{3}+1}{2}R \\ \, \\r_b=\frac{3-\sqrt{3}}{2}R\\ \, \\r_a=\frac{3+\sqrt{3}}{2}R$

a cui aggiungo l'inraggio (per la 2):

$r=\frac{\sqrt{3}-1}{2}R$

l'area del triangolo (per la 3):

$A = \frac{\sqrt{3}}{2}R^2$

e infine il semiperimetro:

$p = {\large \frac{A}{r}} = \frac{3+\sqrt{3}}{2}R$.

E' noto che i lati si possono ricavare
in base all'exraggio corrispondente, al
semiperimetro e all'area del triangolo.
Cioè risulta:

$a = p-{\large \frac A r_{\small a}} = 2R \\ \, \\b = p-{\large \frac A r_{\small b}} = R \\ \, \\c = p-{\large \frac A r_{\small c} = \sqrt{3}R$

Questo triangolo è rettangolo, visto che
uno dei lati (a) è il doppio del circumraggio.
Per cui l'angolo opposto ad a è retto.
Inoltre, tale triangolo è anche la metà di un
triangolo equilatero, visto che un cateto (b)
è la metà dell'ipotenusa. Ciò significa che
l'angolo opposto a b è di 30° e il terzo angolo
è naturalmente di 60°.

(Salvo sviste!)


Mhm... probabilmente c'è qualche sveltizia, mi
vien da pensare osservando il risultato, ma non
sono riuscito a intercettarla in tempo


Proverò a ripensarci, per ora passo la palla