Dimostrare che per ogni n intero positivo:
$n^{\frac {1}{n}} < 1 + (\frac {2}{n})^{\frac {1}{2}}$
confronto di potenze
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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...
Questo problema mi ha un po' frenato.
Non sapevo come entrare nella sua affermazione, ma soprattutto non volevo
affrontarlo ricorrendo direttamente ad alcuni risultati noti.
Dico quindi grazie a chi lo ha proposto, per essermi sentito stimolato a cercare
altri percorsi.
Spiegherò le mie considerazioni imponendomi di essere il più chiaro possibile
e di ridurre al minimo i passaggi omessi.
Innanzitutto, ho tradotto il quesito in questa forma:
$\displaystyle n \, \, 0 \,\, ,$
ottenendo successivamente:
$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{r+1} \ge \left(1+\frac{r\cdot (r-1)}{n}+r\cdot sqrt{\frac{2}{n}}\right)\cdot \left(1+sqrt{\frac{2}{n}} \right) = 1+ \frac{(r+1)\cdot r}{n}+(r+1)\cdot sqrt{\frac{2}{n}}+\frac{r\cdot (r-1)}{n}\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,\,$.
Il termine $\displaystyle \, \frac{r\cdot(r-1)}{n}\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,$ non è negativo.
Questo significa che la sua eliminazione non indebolisce la disuguaglianza, cioè:
$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{r+1} \ge 1+ \frac{(r+1)\cdot r}{n}+(r+1)\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,\,$.
Ma significa anche che la (1) vale per tutti gli esponenti interi e positivi, in quanto
siamo appena passati da uno qualsiasi di essi ($\displaystyle r$) a quello che viene subito
dopo ($\displaystyle r+1$).
L'idea era giusta. Ho così stabilito che, quando $\displaystyle \alpha$ è un numero intero e positivo,
la disuguaglianza
$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}} \right)^ \alpha \ge 1+\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{n}+\alpha\cdot sqrt{\frac{2}{n}}$
è sempre vera.
(In realtà, la disuguaglianza è vera anche per $\displaystyle \alpha$ nullo.)
Dopo di che, ho sostituito $\displaystyle \alpha$ con $\displaystyle n$ ed è saltato fuori questo:
$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}} \right)^n \ge 1+\frac{n\cdot (n-1)}{n}+n\cdot sqrt{\frac{2}{n}} = n+n\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,\,$.
Il termine $\displaystyle \, n\cdot sqrt{\frac{2}{n} \,}$ è senz'altro positivo, rispetto all' $\displaystyle n$ definito nel testo del
problema, e ignorarlo equivale allora a rafforzare la disuguaglianza.
Dunque:
$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n \, > \, n \, , \,$ ossia: $\displaystyle \,\, 1+\left( \frac{2}{n} \right)^{\frac{1}{2}} \, > \, n^{\frac{1}{n}}\,$,
per qualunque $\displaystyle n$ intero e positivo.
Ma la (1) ha una conseguenza ancor più interessante del problema appena
dimostrato, si tratta della disuguaglianza:
$\displaystyle 1+\left( \frac{2}{n+1} \right)^{\frac{1}{2}} \, \ge \, (n+1)^{\frac{1}{n}}\,$,
sicuramente più forte.
> Come sempre, salvo errori & omissioni---
Un saluto a tutti!
Bruno
PS - Prima di affrontare la questione, mi è capitato di vedere altri tipi di soluzioni
basate su risultati più o meno noti, come la disuguaglianza di Bernoulli (per es. qui)
oppure la formula binomiale, che naturalmente ho voluto evitare.
Questo problema mi ha un po' frenato.
Non sapevo come entrare nella sua affermazione, ma soprattutto non volevo
affrontarlo ricorrendo direttamente ad alcuni risultati noti.
Dico quindi grazie a chi lo ha proposto, per essermi sentito stimolato a cercare
altri percorsi.
Spiegherò le mie considerazioni imponendomi di essere il più chiaro possibile
e di ridurre al minimo i passaggi omessi.
Innanzitutto, ho tradotto il quesito in questa forma:
$\displaystyle n \, \, 0 \,\, ,$
ottenendo successivamente:
$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{r+1} \ge \left(1+\frac{r\cdot (r-1)}{n}+r\cdot sqrt{\frac{2}{n}}\right)\cdot \left(1+sqrt{\frac{2}{n}} \right) = 1+ \frac{(r+1)\cdot r}{n}+(r+1)\cdot sqrt{\frac{2}{n}}+\frac{r\cdot (r-1)}{n}\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,\,$.
Il termine $\displaystyle \, \frac{r\cdot(r-1)}{n}\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,$ non è negativo.
Questo significa che la sua eliminazione non indebolisce la disuguaglianza, cioè:
$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{r+1} \ge 1+ \frac{(r+1)\cdot r}{n}+(r+1)\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,\,$.
Ma significa anche che la (1) vale per tutti gli esponenti interi e positivi, in quanto
siamo appena passati da uno qualsiasi di essi ($\displaystyle r$) a quello che viene subito
dopo ($\displaystyle r+1$).
L'idea era giusta. Ho così stabilito che, quando $\displaystyle \alpha$ è un numero intero e positivo,
la disuguaglianza
$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}} \right)^ \alpha \ge 1+\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)}{n}+\alpha\cdot sqrt{\frac{2}{n}}$
è sempre vera.
(In realtà, la disuguaglianza è vera anche per $\displaystyle \alpha$ nullo.)
Dopo di che, ho sostituito $\displaystyle \alpha$ con $\displaystyle n$ ed è saltato fuori questo:
$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}} \right)^n \ge 1+\frac{n\cdot (n-1)}{n}+n\cdot sqrt{\frac{2}{n}} = n+n\cdot sqrt{\frac{2}{n}} \,\,$.
Il termine $\displaystyle \, n\cdot sqrt{\frac{2}{n} \,}$ è senz'altro positivo, rispetto all' $\displaystyle n$ definito nel testo del
problema, e ignorarlo equivale allora a rafforzare la disuguaglianza.
Dunque:
$\displaystyle \left(1+sqrt{\frac{2}{n}}\right)^n \, > \, n \, , \,$ ossia: $\displaystyle \,\, 1+\left( \frac{2}{n} \right)^{\frac{1}{2}} \, > \, n^{\frac{1}{n}}\,$,
per qualunque $\displaystyle n$ intero e positivo.
Ma la (1) ha una conseguenza ancor più interessante del problema appena
dimostrato, si tratta della disuguaglianza:
$\displaystyle 1+\left( \frac{2}{n+1} \right)^{\frac{1}{2}} \, \ge \, (n+1)^{\frac{1}{n}}\,$,
sicuramente più forte.
> Come sempre, salvo errori & omissioni---
Un saluto a tutti!
Bruno
PS - Prima di affrontare la questione, mi è capitato di vedere altri tipi di soluzioni
basate su risultati più o meno noti, come la disuguaglianza di Bernoulli (per es. qui)
oppure la formula binomiale, che naturalmente ho voluto evitare.
Ultima modifica di Bruno il lun apr 03, 2006 10:15 am, modificato 7 volte in totale.