Un problema di geometria
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Un problema di geometria
Sia ABC un triangolo qualunque e D,E,F tre punti interni ai lati AB,BC,CA rispettivamente .Dimostrare che le 3 circonferenze
O(ADF),O(DBE) e O(ECF) passano per uno stesso punto.
N.B.
Col simbolo O(XYZ) indico la circonferenza passante per i punti X,Y,Z.
karl
O(ADF),O(DBE) e O(ECF) passano per uno stesso punto.
N.B.
Col simbolo O(XYZ) indico la circonferenza passante per i punti X,Y,Z.
karl
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Considero AFGD e BDGE, che sono quadrilateri ciclici
(quindi la somma di angoli opposti=180°)
Scriviamo le relazioni di somma degli angoli: nel grafico "verde+rosa=180°"
Allora avremo che AFG + ADG=180° e BDG + BEG=180°, da cui otteniamo che AFG=BDG.
Poichè CEG = 180- BEG allora BDG=CEG e dunque CEG = AFG
Adesso diamo un'occhiata a CEG = 180 - CFG.
Dunque CEFG è un quadrilatero ciclico e quindi il simpatico punto G appartiene alla cfr per C,E,F.
Come dice qualcuno...se&o....
Saluti
mathmum
...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...
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Anche con Cabri (che è un software esecutivo) risulta GD = 1/3 AC
Ultima modifica di Ivana il gio mar 13, 2008 5:39 pm, modificato 1 volta in totale.
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
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Ma dai? allora, visto che va bene lo posto (voce del verbo "postare")
La soluzione è "modello base".
Ho centrato A nell'origine degli assi cartesiani (non mi veniva in mente una dimostrazione senza geom. analitica....) e ho assegnato coordinate a B e C.
B=(a,0) $C=(c_x,c_y)$
Allora il baricentro è $G=(\frac{a+c_x}{3},\frac{c_y}{3})$.
Poichè AD=1/3AB, allora $D=(a/3,0)$
Calcolo $GD=\sqrt{(\frac{a+c_x}{3}-\frac{a}{3})^2+(\frac{c_y}{3})^2}$.
faccio un po' di conticini e ottengo $GD=1/3\sqrt{c_x^2+c_y^2}$
quindi GD è un terzo di AC.
alè.
mammamiacomètardidevoandareaprepararedamangiare!
ciao!
La soluzione è "modello base".
Ho centrato A nell'origine degli assi cartesiani (non mi veniva in mente una dimostrazione senza geom. analitica....) e ho assegnato coordinate a B e C.
B=(a,0) $C=(c_x,c_y)$
Allora il baricentro è $G=(\frac{a+c_x}{3},\frac{c_y}{3})$.
Poichè AD=1/3AB, allora $D=(a/3,0)$
Calcolo $GD=\sqrt{(\frac{a+c_x}{3}-\frac{a}{3})^2+(\frac{c_y}{3})^2}$.
faccio un po' di conticini e ottengo $GD=1/3\sqrt{c_x^2+c_y^2}$
quindi GD è un terzo di AC.
alè.
mammamiacomètardidevoandareaprepararedamangiare!
ciao!
mathmum
...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...
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Sempre con Cabri si giunge al primo stadio di un... antifiocco di neve... particolare...
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"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Da un altro forum ho preso un problema (piuttosto facile da risolvere per via trigonometrica) di cui mi sono divertito a
sviluppare una risoluzione puramente geometrica ( senza porre l'ombra di incognite).Volete provare anche voi ?
Ecco la traccia :
Considera il triangolo rettangolo ABC inscritto in una semicirconferenza di diametro AB=2r. Sul lato BC costruisci il quadrato BPQC esternamente al triangolo. Sai che il trapezio ABPQ ha area $S=(\frac{4+3\sqrt2}{2})r^2$ : quanto misura l'angolo BAC?
karl
sviluppare una risoluzione puramente geometrica ( senza porre l'ombra di incognite).Volete provare anche voi ?
Ecco la traccia :
Considera il triangolo rettangolo ABC inscritto in una semicirconferenza di diametro AB=2r. Sul lato BC costruisci il quadrato BPQC esternamente al triangolo. Sai che il trapezio ABPQ ha area $S=(\frac{4+3\sqrt2}{2})r^2$ : quanto misura l'angolo BAC?
karl