Un problema di geometria

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

karl
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Un problema di geometria

Messaggio da karl »

Sia ABC un triangolo qualunque e D,E,F tre punti interni ai lati AB,BC,CA rispettivamente .Dimostrare che le 3 circonferenze
O(ADF),O(DBE) e O(ECF) passano per uno stesso punto.
N.B.
Col simbolo O(XYZ) indico la circonferenza passante per i punti X,Y,Z.
karl

Quelo
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Messaggio da Quelo »

Un bel disegnino rende bene l'idea:

Immagine

Nella fattispecie il punto in questione è il punto G, per cui possiamo dire che Karl ci ha fornito una costruzione geometrica per individuare il punto G ... :wink:
[Sergio] / $17$

panurgo
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Messaggio da panurgo »

Il problema è vedere se ciò che vale nel piano euclideo vale anche per superfici diverse :twisted:
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

mathmum
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Messaggio da mathmum »

Immagine

Considero AFGD e BDGE, che sono quadrilateri ciclici
(quindi la somma di angoli opposti=180°)

Scriviamo le relazioni di somma degli angoli: nel grafico "verde+rosa=180°"
Allora avremo che AFG + ADG=180° e BDG + BEG=180°, da cui otteniamo che AFG=BDG.

Poichè CEG = 180- BEG allora BDG=CEG e dunque CEG = AFG

Adesso diamo un'occhiata a CEG = 180 - CFG.
Dunque CEFG è un quadrilatero ciclico e quindi il simpatico punto G appartiene alla cfr per C,E,F.

Come dice qualcuno...se&o....
Saluti
mathmum

...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...

mathmum
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Messaggio da mathmum »

panurgo ha scritto:Il problema è vedere se ciò che vale nel piano euclideo vale anche per superfici diverse :twisted:
Pan, le cose semplici mai, eh?
Ci penserò.... :lol:
mathmum

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panurgo
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Messaggio da panurgo »

Oh, beh! Dato che il punto G non si trova in un piano euclideo...
il panurgo

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mathmum
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Messaggio da mathmum »

Arrotoliamo? o srotoliamo? hehehehehe
mathmum

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karl
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Messaggio da karl »

Bene mathmum,ottima soluzione.
Eccovene un altro...brevissimo.
Nel triangolo ABC sia G il baricentro e D il punto del lato AB tale che
risulti $AD=\frac{1}{3}AB$ .Calcolare la distanza GD in funzione dei lati del triangolo.
Saluti.
karl

mathmum
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Messaggio da mathmum »

a me viene che GD=1/3 AC, ma mi sa che ho cannato qualcosa... :oops:
mathmum

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Ivana
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Messaggio da Ivana »

Anche con Cabri (che è un software esecutivo) risulta GD = 1/3 AC
Ultima modifica di Ivana il gio mar 13, 2008 5:39 pm, modificato 1 volta in totale.
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Ivana
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Messaggio da Ivana »

Ecco tre immagini realizzate velocemente con Cabri

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mathmum
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Messaggio da mathmum »

Ma dai? allora, visto che va bene lo posto (voce del verbo "postare")
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La soluzione è "modello base".

Ho centrato A nell'origine degli assi cartesiani (non mi veniva in mente una dimostrazione senza geom. analitica....) e ho assegnato coordinate a B e C.
B=(a,0) $C=(c_x,c_y)$

Allora il baricentro è $G=(\frac{a+c_x}{3},\frac{c_y}{3})$.

Poichè AD=1/3AB, allora $D=(a/3,0)$

Calcolo $GD=\sqrt{(\frac{a+c_x}{3}-\frac{a}{3})^2+(\frac{c_y}{3})^2}$.

faccio un po' di conticini e ottengo $GD=1/3\sqrt{c_x^2+c_y^2}$

quindi GD è un terzo di AC.

alè.
mammamiacomètardidevoandareaprepararedamangiare!
ciao!
mathmum

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Ivana
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Messaggio da Ivana »

Sempre con Cabri si giunge al primo stadio di un... antifiocco di neve... particolare...
Allegati
triangolo.jpg
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karl
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Messaggio da karl »

Pure stavolta mathmum ha centrato velocemente la questione ! Esiste
anche una soluzione puramente geometrica ( basata ovviamente su
note proprietà del baricentro e nemmeno tanto più semplice di quella trovata da mathmum).
La lascio a qualche altro che si voglia divertire a cercarla.
karl

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Messaggio da karl »

Da un altro forum ho preso un problema (piuttosto facile da risolvere per via trigonometrica) di cui mi sono divertito a
sviluppare una risoluzione puramente geometrica ( senza porre l'ombra di incognite).Volete provare anche voi ?
Ecco la traccia :
Considera il triangolo rettangolo ABC inscritto in una semicirconferenza di diametro AB=2r. Sul lato BC costruisci il quadrato BPQC esternamente al triangolo. Sai che il trapezio ABPQ ha area $S=(\frac{4+3\sqrt2}{2})r^2$ : quanto misura l'angolo BAC?
karl

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