Quadratura di rapporti

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Br1
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Quadratura di rapporti

Messaggio da Br1 »

In questa espressione:


$\large \frac{an-b}{n+1}\, =\, \frac{(a-1)n-(b+1)}{n-1} \,=\, c^{\small 2}$


trovare infiniti $\,n,\,a,\,b,\,c\,$ interi e positivi.
Bruno

vittorio
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Messaggio da vittorio »

Dall'equazione

$\large \frac{an-b}{n+1}\,= c^{\small 2}$

si ottiene

$\large n=\frac{b+c^2}{a-c^2}$

Sostituendo nell'equazione

$\large \frac{(a-1)n-(b+1)}{n-1} \,=\, c^{\small 2}$

si ottene

$\large \frac{a(2c^2-1)-b-2c^4}{a-b-2c^2}=0$

da cui

$b=a(2c^2-1)-2c^4$

$n=2c^2-1$

Per valori di a e c interi anche i valori di b ed n sono quindi interi.
Affinché n sia positivo dovà essere $2c^2-1>0$ con c>0 quindi dovrà essere c>1.
Affinché b sia positivo dovrà allora essere

$a>\large \frac{2c^4}{2c^2-1}$

con a intero.

La scelta di c ed a, con le limitazioni indicate, ed il successivo calcolo di b ed n, risolve dunque il problema.
Un esempio: a=5 b=3 c=2 n=7.
Ciao.
Vittorio

Br1
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Messaggio da Br1 »

Ottimo Vittorio :D

A me è capitato di ottenere questi risultati:

$n\,=\, 2r^{\tiny 2}-1 \\ a\,=\, s+r^{\tiny 2} \\ b\,=\, 2sr^{\tiny 2}-\(s+r^{\tiny 2}\)\;\;(c\,=\,r)$

dove $\,r\,$ ed $\,s\,$ sono entrambi maggiori di zero
e non contemporaneamente unitari, per poter
garantire il requisito della positività.

Il mio procedimento è giusto un po' diverso,
ma la pappa è la stessa.
Bruno

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