In questa espressione:
$\large \frac{an-b}{n+1}\, =\, \frac{(a-1)n-(b+1)}{n-1} \,=\, c^{\small 2}$
trovare infiniti $\,n,\,a,\,b,\,c\,$ interi e positivi.
Quadratura di rapporti
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Quadratura di rapporti
Bruno
Dall'equazione
$\large \frac{an-b}{n+1}\,= c^{\small 2}$
si ottiene
$\large n=\frac{b+c^2}{a-c^2}$
Sostituendo nell'equazione
$\large \frac{(a-1)n-(b+1)}{n-1} \,=\, c^{\small 2}$
si ottene
$\large \frac{a(2c^2-1)-b-2c^4}{a-b-2c^2}=0$
da cui
$b=a(2c^2-1)-2c^4$
$n=2c^2-1$
Per valori di a e c interi anche i valori di b ed n sono quindi interi.
Affinché n sia positivo dovà essere $2c^2-1>0$ con c>0 quindi dovrà essere c>1.
Affinché b sia positivo dovrà allora essere
$a>\large \frac{2c^4}{2c^2-1}$
con a intero.
La scelta di c ed a, con le limitazioni indicate, ed il successivo calcolo di b ed n, risolve dunque il problema.
Un esempio: a=5 b=3 c=2 n=7.
Ciao.
$\large \frac{an-b}{n+1}\,= c^{\small 2}$
si ottiene
$\large n=\frac{b+c^2}{a-c^2}$
Sostituendo nell'equazione
$\large \frac{(a-1)n-(b+1)}{n-1} \,=\, c^{\small 2}$
si ottene
$\large \frac{a(2c^2-1)-b-2c^4}{a-b-2c^2}=0$
da cui
$b=a(2c^2-1)-2c^4$
$n=2c^2-1$
Per valori di a e c interi anche i valori di b ed n sono quindi interi.
Affinché n sia positivo dovà essere $2c^2-1>0$ con c>0 quindi dovrà essere c>1.
Affinché b sia positivo dovrà allora essere
$a>\large \frac{2c^4}{2c^2-1}$
con a intero.
La scelta di c ed a, con le limitazioni indicate, ed il successivo calcolo di b ed n, risolve dunque il problema.
Un esempio: a=5 b=3 c=2 n=7.
Ciao.
Vittorio
Ottimo Vittorio
A me è capitato di ottenere questi risultati:
$n\,=\, 2r^{\tiny 2}-1 \\ a\,=\, s+r^{\tiny 2} \\ b\,=\, 2sr^{\tiny 2}-\(s+r^{\tiny 2}\)\;\;(c\,=\,r)$
dove $\,r\,$ ed $\,s\,$ sono entrambi maggiori di zero
e non contemporaneamente unitari, per poter
garantire il requisito della positività.
Il mio procedimento è giusto un po' diverso,
ma la pappa è la stessa.
A me è capitato di ottenere questi risultati:
$n\,=\, 2r^{\tiny 2}-1 \\ a\,=\, s+r^{\tiny 2} \\ b\,=\, 2sr^{\tiny 2}-\(s+r^{\tiny 2}\)\;\;(c\,=\,r)$
dove $\,r\,$ ed $\,s\,$ sono entrambi maggiori di zero
e non contemporaneamente unitari, per poter
garantire il requisito della positività.
Il mio procedimento è giusto un po' diverso,
ma la pappa è la stessa.
Bruno