1) $\;$ Sappiamo che un numero ha tre cifre e che la loro somma
è uguale a un multiplo di 7.
Questo numero è divisibile per 7 se e solo se la differenza fra
la cifra delle decine e quella delle unità è nulla oppure uguale
a ±7.
Perché?

2) $\;$ Per n intero e positivo, qual è il massimo comun divisore
dei numeri con la forma $\, n\cdot10^{n+1}-(n+1)\cdot10^n+1\,$?

3) $\;$ La somma di tutti i numeri di m cifre è un numero avente
la somma delle cifre uguale a ... ?

4) $\;$ Risolvere l'equazione: $\;\sum_{i=1}^{i=x} i^5 = 37 {\small \times}\sum_{i=1}^{i=x} i^3\;.$

Un saluto a Bruno! Non è certo un granchè, ma:
problema 4) In varie maniere (ad esempio con il calcolo umbrale) si mostra che

$\sum_{i=1}^x i^5=\frac{x^2 (x+1)^2(2x^2+2x-1)}{12}$, e che
$\sum_{i=1}^x i^3=\frac{x^2(x+1)^2}{4}$

Perciò l'equazione diventa $2x^2+2x-37\cdot3-1=0$.
Poichè $x=-8$ è da scartare, resta $x=7$.

3) direi zero in modulo 9

1)

(100a+10b+c)_(mod 7)=(2a+3b+c)_(mod 7)
Dal momento che (a+b+c)_(mod 7) = 0 ne segue che (b-c)_(mod 7)=0 con a arbitrario e siccome b e c sono numeri positivi ad una sola cifra (per cui le altre possibilita' (a+2b)_(mod 7)=0 e (a+2c)_(mod 7)=0 non sono verificate, salvo il caso della soluzione nulla, peraltro gia' incluso), la differenza puo' solo essere -7, 0, oppure 7.

Buon Natale e Felice Anno Nuovo a tutti.

2)
Poniamo
$u_n= n\cdot10^{n+1}-(n+1)\cdot10^n+1$
E' facile verificare che si ha
$u_{n+3}=21 \cdot u_{n+2}-120 \cdot u_{n+1}+100 \cdot u_n$
con $u_1=81=3^4$, $u_2=1701=3^5\cdot7$, $u_3=26001=3^5\cdot107$
Ora se $u_{n+2}$, $u_{n+1}$ e $u_n$ sono divisibili per uno stesso numero d anche $u_{n+3}$ deve essere divisibile per d. Ne consegue che il massimo comun divisore degli $u_n$ coincide col massimo comun divisore di $u_1$, $u_2$ e $u_3$ ed è quindi $3^4=81$.

Ciao

Buon Natale e Felice Anno Nuovo a tutti.

2)
Poniamo
$u_n= n\cdot10^{n+1}-(n+1)\cdot10^n+1$
E' facile verificare che si ha
$u_{n+3}=21 \cdot u_{n+2}-120 \cdot u_{n+1}+100 \cdot u_n$
con $u_1=81=3^4$, $u_2=1701=3^5\cdot7$, $u_3=26001=3^5\cdot107$
Ora se $u_{n+2}$, $u_{n+1}$ e $u_n$ sono divisibili per uno stesso numero d anche $u_{n+3}$ deve essere divisibile per d. Ne consegue che il massimo comun divisore degli $u_n$ coincide col massimo comun divisore di $u_1$, $u_2$ e $u_3$ ed è quindi $3^4=81$.

Ciao

Buon Natale e Felice Anno Nuovo a tutti.

2)
Poniamo
$u_n= n\cdot10^{n+1}-(n+1)\cdot10^n+1$
E' facile verificare che si ha
$u_{n+3}=21 \cdot u_{n+2}-120 \cdot u_{n+1}+100 \cdot u_n$
con $u_1=81=3^4$, $u_2=1701=3^5\cdot7$, $u_3=26001=3^5\cdot107$
Ora se $u_{n+2}$, $u_{n+1}$ e $u_n$ sono divisibili per uno stesso numero d anche $u_{n+3}$ deve essere divisibile per d. Ne consegue che il massimo comun divisore degli $u_n$ coincide col massimo comun divisore di $u_1$, $u_2$ e $u_3$ ed è quindi $3^4=81$.

Ciao

Chiedo scusa ma per un errore il testo è stato spedito tre volte.
Mi spiace ma non sono riuscito ad eliminare le due copie in eccesso.

3) Esatto Pasquale, e per la precisione La somma di tutti i numeri di m cifre è un numero avente la somma delle cifre uguale a 9m.

1 45
2 4905
3 494550
4 49495500
5 4949955000
6 494999550000
7 49499995500000
8 4949999955000000
9 494999999550000000
10 49499999995500000000
11 4949999999955000000000
12 494999999999550000000000
13 49499999999995500000000000
14 4949999999999955000000000000
15 494999999999999550000000000000
16 49499999999999995500000000000000
17 4949999999999999955000000000000000
18 494999999999999999550000000000000000
19 49499999999999999995500000000000000000
20 4949999999999999999955000000000000000000


4) Elgiovo, interessante il riferimento al calcolo umbrale. Potresti scriverci una breve lezione su come si applica a questo tipo di sommatorie?

Usando il linguaggio BASIC, la sommatoria:

$\large{\sum_{i=1}^{i=x} i^h}$

si esprime così:

LET somma = 0

FOR i = 1 TO x
LET somma = somma + i^h
NEXT i

PRINT somma

Ho fatto alcuni esperimenti generalizzando l'equazione così:

$\large{\frac {\sum_{i=1}^{i=x} i^h}{\sum_{i=1}^{i=x} i^k}} = F$

con F intero positivo.

In particolare:

per k=1, si ottiene:

$\large{\frac {\sum_{i=1}^{i=x} i^h}{\sum_{i=1}^{i=x} i}} = F$

che sembra avere soluzioni intere per tutti valori di h interi.

per k=2, si ottiene:

$\large{\frac {\sum_{i=1}^{i=x} i^k}{\sum_{i=1}^{i=x} i^2}} = F$

che sembra avere soluzioni intere per k = 2, 4, 6, 7, 8, ... e per tutti i valori interi successivi (?).

per k=3, si ottiene:

$\large{\frac {\sum_{i=1}^{i=x} i^k}{\sum_{i=1}^{i=x} i^3}} = F$

che sembra avere soluzioni intere per tutti e soli i valori di k dispari >1.

Si possono dimostrare tutte queste affermazioni?
O dimostrare che sono false?

Buon Natale a tutti.

Brevemente: il calcolo umbrale serve in realtà a calcolare quelli che sono noti in matematica come numeri di Bernoulli.
Questi numeri si trovano facilmente listati, quindi il calcolo si può evitare.
Una volta noti i numeri necessari, la formula per le famigerate sommatorie di $n$ naturali elevati a potenza $k$ è $\frac{1}{k+1}\sum_{i=1}^k {k+1\choose i} B_i n^{k+1-i}$,
con $B_i$ i-esimo numero di Bernoulli.

Grazie Elgiovo,

la tua spiegazione è un sintetico ma ottimo punto di partenza.

Sempre buon Natale e buon pranzo a tutti!

Gianfranco

1)

Abbiamo, in Modulo 7, che deve essere:

2) a+b+c=0
3) 100a+10b+c=0


dalla 2) a=-b-c e sostituendo tale valore nella 3):

-100b-100c+10b+c=0; -90b-99c=0; -6b-c=0; b-c=0

Dunque, deve essere (b-c) Mod 7 = 0 e questo è possibile solo se b-c=0,-7,+7; in tale caso sono vere contemporaneamente la 2) e la 3)

Ottimo

Ricambio il saluto, Giovanni

Mi piace la generalizzazione di Gianfranco.
(Credo, in passato, di aver già studiato
qualcosa del genere. Però potrei anche
sbagliarmi, quindi provo a cercare fra i
miei appunti.)