Il numero misterioso

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
ronfo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 211
Iscritto il: dom mag 14, 2006 8:27 pm

Il numero misterioso

Messaggio da ronfo »

In una settimana enigmistica ho trovato questo grazioso problema... tralascio i preamboli:
Trovare quel numero dispari composto da dieci cifre tutte diverse l'una dall'altra che ha inoltre questa particolarità:
il numero formato dalle prime due cifre è uguale alla somma delle otto cifre che seguono,
il numero formato dalla terza e quarta cifra è la somma delle sei cifre che seguono,
il numero formato dalla quinta e sesta cifra è la somma delle quattro cifre successive,
e per finire il numero formato dalla settima e ottava cifra è la somma delle ultime due.
Qual'è questo numero?
CIAO

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

due o tre cosette tanto per cominciare
- lo zero non può stare in una delle ultime due posizioni
- le cifre "grosse" (dal 5 al 9) possono stare solo in posizioni "pari" (sempre partendo da sinistra
- lo zero non può stare nella prima, terza o quinta casella

per il resto bisogna pensarci un poco; o fare qualche prova
Enrico

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1438
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Messaggio da franco »

Aggiungiamo che la prima cifra è necessariamente un 3 o un 4 e il gioco si completa rapidamente:

3627180945

ciao
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Quelo
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 894
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Messaggio da Quelo »

delfo52 ha scritto:due o tre cosette tanto per cominciare
- lo zero non può stare in una delle ultime due posizioni
- le cifre "grosse" (dal 5 al 9) possono stare solo in posizioni "pari" (sempre partendo da sinistra
- lo zero non può stare nella prima, terza o quinta casella

per il resto bisogna pensarci un poco; o fare qualche prova
Concordo su tutta la linea.
Altra peculiarità di questo numero è che le cifre, prese a coppie, hanno somma 9

P.S. Il primo numero è un 3
[Sergio] / $17$

vittorio
Livello 3
Livello 3
Messaggi: 63
Iscritto il: lun ago 20, 2007 9:29 am
Località: Ravenna

Messaggio da vittorio »

il numero cercato è 3627180945 oppure 3627180954
infatti
36=2+7+1+8+0+9+4+5
27=1+8+0+9+4+5
18=0+9+4+5
9=4+5

Per trovarlo si consideri che la somma delle 10 cifre è 45
Se x e y sono le prime due cifre del numero dovrà essere
10x+y=45-x-y
Risolvendo si trova che gli unici valori accettabili sono x=3 y=6
La somma delle cifre rimanenti è 45-3-6=36
Se z e t sono la terza e quarta cifra dovrà essere
10z+t=36-z-t
Risolvendo si trova che gli unici valori accettabili sono z=2 t=7
La somma delle cifre rimanenti è 36-2-7=27
Se z e t sono la quinta e sesta cifra dovrà essere
10u+v=27-u-v
Risolvendo si trova che gli unici valori accettabili sono u=1 t=8
La somma delle cifre rimanenti è 27-1-8=18
Se h e k sono la settima e ottava cifra dovrà essere
10h+k=18-h-k
Risolvendo si trova che gli unici valori accettabili sono h=0 k=9
La somma delle cifre rimanenti è 18-0-9=9
Rimangono le cifre 4 e 5 per completare il numero.
Vittorio

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1438
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Messaggio da franco »

Il rpimo che hai detto: nel testo era specificato trattarsi di un numero dispari! :wink:
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

espongo, anche se so inutile, i ragionamenti che mi hanno permesso, già ad una prima lettura, di "porre certi paletti".
-Se lo zero fosse in una delle ultime due posizioni, la somma degli ultimi due sarebbe la cifra che sta con lo zero nell'ultima doppietta; la loro somma non può essere espressa con i due numeri della penultima doppietta essendo composta di una sola cifra!
-le "somme", anche quelle più sostanziose, non possono cominciare con 5-6-7-8 o 9 per cui queste cifre devono stare "a destra" in ogni doppietta
- le prime tre doppiette non possono avere valore inferiore a 10, per cui lo zero non puà essere in posizione 1-3 o 5
Come ha fatto notare Franco, la prima doppietta, che deve rappresentare la somma degli altri otto, deve essere "grassa", per cui in pole position ci metteremo il 4, o il 3 !
In effetti lo scoglio logico più insidioso secondo me sta proprio nel non dare per scontato che debba essere per forza il 4.
Per prendere in considerazione il 3, bisogna "vedere" che la quinta doppietta, non dovendo essere somma di nulla, può cominciare per 4, o addirittura con 5, senza fare danni.

(quanto sopra esposto, è solo per vedere se qualcun altro vuol condividere i suoi percorsi logici; Franco magari ha impostato subito l'equazione...)
Enrico

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1438
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Messaggio da franco »

Niente equazione (almeno in prima battuta).

Quando sento parlare di enigmistica mi vengono subito in mente le griglie logiche e imposto il ragionamento di conseguenza.

Per la cronaca, questo è il ragionamento che mi ha portato alla soluzione:

Immagine
Immagine

(anche in questo caso il tempo dedicato a "tradurlo" e "metterlo in bella" è stato di gran lunga superiore a quello necessario per la risoluzione)

ciao
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Br1
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 465
Iscritto il: mer feb 21, 2007 5:53 pm
Località: Bologna

Messaggio da Br1 »

Ho trovato un momento per questo quiz di
Ronfo e allego la mia soluzione, accogliendo
l'invito di Enrico. Eccola.
Mi sembra che il percorso seguito costituisca
un'alternativa a quelli sopra descritti.

Ho dato un'occhiatina ad alcuni post e sono
contento di riscontrare un livello sempre molto
raffinato.
Comunque vedo che alcuni di essi impongono
ragionamenti piuttosto impegnativi, non sempre
adatti alle mie preferite carta e penna e al poco
tempo.
Verranno altri momenti, penso, un po' più liberi :D

Ciao a tutti!
Bruno

vittorio
Livello 3
Livello 3
Messaggi: 63
Iscritto il: lun ago 20, 2007 9:29 am
Località: Ravenna

Messaggio da vittorio »

Salve a tutti.
Non so se possa interessare. Il numero

81726354453627180909

che contiene le dieci cifre ciascuna ripetuta due volte gode della stessa proprietà del numero del problema proposto da ronfo.
Vale a dire che l numero formato dalle prime due cifre è uguale alla somma delle diciotto cifre che seguono ecc.

Ciao
Vittorio

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

certo che interessa !!
per certi versi il problema, nella versione raddioppiata, è molto più semplice.
sarebbe bello sapere come ti è venuta in mente; hai impostato prima la domanda, o magari hai "visto" prima la soluzione e poi ne hai derivato il nuovo problema
Esiste la versione tripla?
Enrico

franco
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1438
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Messaggio da franco »

Non penso possa esistere la versione tripla.

la prima coppia di numeri dovrebbe essere la somma di:
+ somma cifre da 0 a 9 = 45
+ somma cifre da 0 a 9 = 45
+ somma 8 cifre diverse fra 0 e 9 = minimo 28

Il totale non può essere inferiore a 118 e quindi non è rappresentabile con 2 cifre.

Però forse si può rifare da capo l'esercizio in esadecimale e in doppio esadecimale.

ciao
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

vittorio
Livello 3
Livello 3
Messaggi: 63
Iscritto il: lun ago 20, 2007 9:29 am
Località: Ravenna

Messaggio da vittorio »

Devo una risposta a delfo52 che ha scritto:
“certo che interessa !! per certi versi il problema, nella versione raddoppiata, è molto più semplice. sarebbe bello sapere come ti è venuta in mente; hai impostato prima la domanda, o magari hai "visto" prima la soluzione e poi ne hai derivato il nuovo problema.
Esiste la versione tripla? “

La “versione raddoppiata” mi è venuta in mente perché quando tento di risolvere un problema esamino anche l'eventualità di possibili generalizzazioni (che a volte possono aiutare).

Nel caso specifico mi è sembrato che la parte più significativa del problema consistesse più nel metodo di costruzione del numero che nella particolarità delle sue cifre. Ho quindi pensato di eliminare le restrizioni sulle cifre e considerare l'insieme dei numeri costituiti da un numero pari di cifre per cui il numero costituito dalle prime due cifre è uguale alla somma delle cifre che lo seguono ecc.
In altre parole se

$a_{2n}a_{2n-1}.........a_{2p}a_{2p-1}a_{2p-2}...........a_{3}a_{2}a_{1}$

è il numero richiesto (in notazione decimale con n>1 n>p>0) allora deve essere

$10a_{2p}+a_{2p-1}=a_{2p-2}a_{2p-3}...............a_2a_1=S_{p-1}$

con $1<p\le n$. Ne consegue che

$10a_{2p+2}+a_{2p+1}=a_{2p}+a_{2p-1}+S_{p-1}$

cioè

$10a_{2p+2}+a_{2p+1}=11a_{2p}+2a_{2p-1}$

Un esempio di questo tipo di numeri è dato da 999081726354453627180945

Non credo sia necessario dimostrare che l'insieme di tali numeri è finito.

Numeri di questo tipo si possono costruire da destra considerando un numero iniziale ad esempio 01.
Le due cifre alla sua sinistra sono 0+1 cioè ancora 01 e si ottiene 0101.
Le cifre a sinistra dovranno essere 0+1+0+1=02 e si ottiene 020101.
Proseguendo si ottiene
04020101,
0804020101,
160804020101,
23160804020101,
...................................
e così via fino a
9177706249382823160804020101.

A questo punto ci si ferma in quanto la somma delle cifre è diventata 91+9+1=101 che è un numero di tre cifre.

Alcune domande:
qual'è il più grande di questi numeri?
quale di questi numeri ha la maggior somma di cifre?
coincidono?

Fissata la somma S delle sue cifre un numero di tale tipo può anche essere costruito a rovescio (da sinistra).
Le cifre di sinistra x e y dovranno essere tali per cui

$10x+y=S-x-y$

quindi

$y=\frac{S-11x}{2}$

in cui sia x che y devono essere delle cifre.

Ad esempio volendo un numero del nostro tipo con somma di cifre pari a 69 scriviamo

$y=\frac{69-11x}{2}$

la cui unica soluzione è x=5 y=7. Il numero cercato inizia con 57, e la somma delle cifre restanti è ancora 57. Proseguendo con lo stesso procedimento si trova successivamente 51, 39, 33, 30, 24, 21, 15, 12, 06, 03. A questo punto la somma delle cifre rimanenti è 3 e l'equazione

$y=\frac{3-11x}{2}$

non ha soluzioni (che siano cifre). Le ultime due cifre del numero devono quindi avere somma 3, e possono essere 03, 12, 21, 30. Abbiamo quindi individuato quattro numeri del nostro tipo con somma delle cifre pari a 69.
Uno di questi è 575139333024211512060303

Proviamo ora a cercare un numero con somma di cifre pari ad 86. Si ha

$y=\frac{86-11x}{2}$

che non ha soluzioni nel senso che non esistono due cifre x e y che la soddisfano.
Il numero 86 non può essere la somma delle cifre di alcun numero del nostro tipo.
Analogamente se volessimo un numero con somma di cifre 135 otterremmo una equazione con soluzioni non accettabili; in questo caso però, a differenza del caso precedente, ciò si verifica perché la somma è troppo grande.

Domanda: quali sono i numeri che, come 86, non possono essere somme di cifre di numeri del nostro tipo?

Per rispondere a delfo52 devo dire che il numero richiesto dal problema originale non è altro che un particolare numero del nostro tipo, con ulteriori restrizioni sulle cifre. Allora perché non potrebbe esistere un numero con tutte le cifre ripetute due volte? L'ho cercato e l'ho trovato.
La versione tripla non esiste perché la somma delle cifre sarebbe 135: troppo grande!
Non ho cercato le risposte alle altre domande perché mi ero stufato.


Spero di essere stato esauriente.
Ciao.
Vittorio

delfo52
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1556
Iscritto il: mer mag 25, 2005 4:19 pm
Località: bologna

Messaggio da delfo52 »

Grazie dell'esauriente lavoro !
Scusate se a volte sembra che io faccia richieste "inquisitorie"...
Lungi da me un simile intento !
il fatto è che sono convinto che, tra i mille meriti del sito di GFB, non ultimo vada annoverato quello di cercare di avvicinare alla matematica qualche visitatore casuale, magari convinto di essere negato "per i numeri".
Credo che ad un tale soggetto sia utile vedersi spiegato un procedimento di soluzione, o ancor meglio due o tre modi differenti di affrontare un problema.
Enrico

Rispondi