Ciao a tutti .
Questa settimana vi propongo un problemino facile da esporre ma che si rivela complicato nella soluzione ... Eccolo:
Considerate un triangolo equilatero , prendete un punto interno di questo triangolo;
la proprietà di questo punto è che esso dista rispettivamente 3, 4 e 5 unità dagli angoli del triangolo . Determinate la lunghezza del lato del triangolo equilatero.
Mi sovviene or ora un altro quesito:
Euclide provò che due triangoli possono essere congruenti in tre casi , in cui tre dei sei elementi sono uguali (per esempio due lati e l'angolo compreso).
E' posssibile che due triangoli abbiano cinque elementi uguali su sei, ma non siano congruenti? Se si fornire un esempio se no dimostrarlo.
CIAO
Il triangolo equilatero
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
tra le condizioni per dimostrare la confruenza (sono tanto vecchio se ai miei tempi si diceva uguali?), ci sono
-due angoli e il lato tra essi compreso
-due lati e l'angolo tra essi compreso
Se prendiamo 5 elementi dei sei (tre angoli e tre lati), di una delle due specie ce ne saranno due
Di quell'altra ce ne saranno tutte tre
Se abbiamo due lati, abbiamo perciò tre angoli tra cui ci deve essere quello tra i due lati compreso,
Se abbiamo due angoli, abbiamo tutti gi angoli, tra cui troveremo di certo quello tra gli angoli compreso
Riguardo il primo quesito, se il punto esiste, il lato del T.E. è lungo
certamente più di 5 (per costruzione il lato è sempre il lato più lungo dei tre triangoli "al centro" derivanti; e due di questi hanno un lato di 5)
certamente meno di 7 (uno dei triangoli ha i lati di 3-4-lato del TE)
La mia risposta è 6+/- 1
-due angoli e il lato tra essi compreso
-due lati e l'angolo tra essi compreso
Se prendiamo 5 elementi dei sei (tre angoli e tre lati), di una delle due specie ce ne saranno due
Di quell'altra ce ne saranno tutte tre
Se abbiamo due lati, abbiamo perciò tre angoli tra cui ci deve essere quello tra i due lati compreso,
Se abbiamo due angoli, abbiamo tutti gi angoli, tra cui troveremo di certo quello tra gli angoli compreso
Riguardo il primo quesito, se il punto esiste, il lato del T.E. è lungo
certamente più di 5 (per costruzione il lato è sempre il lato più lungo dei tre triangoli "al centro" derivanti; e due di questi hanno un lato di 5)
certamente meno di 7 (uno dei triangoli ha i lati di 3-4-lato del TE)
La mia risposta è 6+/- 1
Enrico
Quelo ha scritto:La risposta esatta è
$L = \sqrt{25+12 \cdot \sqrt{3}} = 6.76643$
Confermo che, graficamente, la risposta $L \approx 6,76643$ corrisponde: delfo52, Quelo ha scritto $25+12 \times \sqrt{3}$ non $25+12 - \sqrt{3}$delfo52 ha scritto:25+12-rad3 = meno di 36
la radice pertanto è inferiore a 6
c'è qualcosa che nnon torna
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Usando il teorema del coseno ho calcolato i tre angoli "interni" e sfruttando le uguaglianze e il fatto che la somma dei 3 angoli è 360° ottengo un'equazione "allegramente trigonometrica" con una sola incognita, l'agolo compreso tra 3 e 4. Questa equazione ha una sola radice (plottando la funzione) compresa tra 60° e 180° e cioè 150°
Quanto ho un po' di tempo metto un bel disegnino e quattro formulette.
Quanto ho un po' di tempo metto un bel disegnino e quattro formulette.
[Sergio] / $17$
Per Delfo52.
la risposta al secondo quesito (quello riguardante la congruenza (uguaglianza) di due triangoli con 5 elementi uguali su sei ) è sbagliata !!! sembrava impossibile anche a me eppure esiste una serie infinita di triangoli come sopra definiti non congruenti . Come esempio guardate la figura in allegato.
Per quanto riguarda il primo quesito Quelo ha dato la risposta esatta.
Per vostra informazione esiste una bella equazione simmetrica ( non so chi l'abbia scoperta ) per trovare il lato di un triangolo equilatero conoscendo le distanze di un punto dai tre angoli:
3( a^4+b^4+c^4+d^4 ) = ( a^2+b^2+c^2+d^2)^2
le tre distanze possono variare di valore; risolvendo l'equazione per il quarto valore , si ottiene il lato del triangolo.
Peccato che non sò risolvere le equazioni di quarto grado se non usando derive.
CIAO
la risposta al secondo quesito (quello riguardante la congruenza (uguaglianza) di due triangoli con 5 elementi uguali su sei ) è sbagliata !!! sembrava impossibile anche a me eppure esiste una serie infinita di triangoli come sopra definiti non congruenti . Come esempio guardate la figura in allegato.
Per quanto riguarda il primo quesito Quelo ha dato la risposta esatta.
Per vostra informazione esiste una bella equazione simmetrica ( non so chi l'abbia scoperta ) per trovare il lato di un triangolo equilatero conoscendo le distanze di un punto dai tre angoli:
3( a^4+b^4+c^4+d^4 ) = ( a^2+b^2+c^2+d^2)^2
le tre distanze possono variare di valore; risolvendo l'equazione per il quarto valore , si ottiene il lato del triangolo.
Peccato che non sò risolvere le equazioni di quarto grado se non usando derive.
CIAO
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- triangoli.JPG (11.54 KiB) Visto 8117 volte
Per ronfo:
Le equazioni di quarto grado si risolvono con questa formula http://planetmath.org/encyclopedia/QuarticFormula.html oppure con questo strumento http://utenti.quipo.it/base5/numeri/equasolutore.htm
Ma in realtà non ce n'è bisogno perché se sostituiamo a, b, e c nella tua formula miracolosa, ci ritroviamo con una equazione di secondo grado, ad esempio con 3, 4 e 5:
$3(3^4+4^4+5^4+d^4)=(3^2+4^2+5^2+d^2)^2$
$2886+3d^4=2500+100d^2+d^4$
$d^4-50d^2+193=0$
$d^2=\frac{50 \pm \sqrt{2500-772}}{2}$
$d=\sqrt{25+12\sqrt{3}}$
Questo invece è il metodo che ho seguito io:
Per il teorema del coseno
$L^2=3^2+4^2-24 cos \alpha$
$L^2=4^2+5^2-40 cos \beta$
$L^2=3^2+5^2-30 cos \gamma$
da cui
$\beta=cos^{-1}(\frac{3 cos \alpha+2}{5})$
$\gamma=cos^{-1}(\frac{8 cos \alpha+3}{10})$
se consideriamo
$\alpha + \beta + \gamma - 2 \pi = 0$
tracciando il grafico e per tentativi si ricava
$\alpha = \frac{5}{6} \pi = 150$°
da cui
$L=\sqrt{25+12\sqrt{3}}$
Le equazioni di quarto grado si risolvono con questa formula http://planetmath.org/encyclopedia/QuarticFormula.html oppure con questo strumento http://utenti.quipo.it/base5/numeri/equasolutore.htm
Ma in realtà non ce n'è bisogno perché se sostituiamo a, b, e c nella tua formula miracolosa, ci ritroviamo con una equazione di secondo grado, ad esempio con 3, 4 e 5:
$3(3^4+4^4+5^4+d^4)=(3^2+4^2+5^2+d^2)^2$
$2886+3d^4=2500+100d^2+d^4$
$d^4-50d^2+193=0$
$d^2=\frac{50 \pm \sqrt{2500-772}}{2}$
$d=\sqrt{25+12\sqrt{3}}$
Questo invece è il metodo che ho seguito io:
Per il teorema del coseno
$L^2=3^2+4^2-24 cos \alpha$
$L^2=4^2+5^2-40 cos \beta$
$L^2=3^2+5^2-30 cos \gamma$
da cui
$\beta=cos^{-1}(\frac{3 cos \alpha+2}{5})$
$\gamma=cos^{-1}(\frac{8 cos \alpha+3}{10})$
se consideriamo
$\alpha + \beta + \gamma - 2 \pi = 0$
tracciando il grafico e per tentativi si ricava
$\alpha = \frac{5}{6} \pi = 150$°
da cui
$L=\sqrt{25+12\sqrt{3}}$
[Sergio] / $17$
Salve a tutti.
E' possibile che due triangoli abbiano cinque elementi uguali su sei, ma non siano congruenti? Se si fornire un esempio se no dimostrarlo.
Chiamo 5-con due triangoli diversi ma con cinque elementi (lati o angoli) uguali. Tali elementi devono essere tre angoli e due lati: i due triangoli sono quindi simili.
Moltiplicando i lati (misure) di due triangoli 5-con per uno stesso numero, per similitudine si ottengono altri due triangoli 5-con.
Siano ABC e A'B'C' due triangoli simili riferiti in modo che A corrisponda ad A' ecc..
Affinché tali triangoli siano 5-con devono avere due coppie lati (non corrispondenti) uguali. Il lato BC non può essere uguale a B'C' in quanto i triangoli sarebbero uguali: supponiamo che sia BC=C'A'. Il lato AB non può allora essere uguale né a A'B' né a C'A' e poniamo quindi AB=B'C'.
Dalla similitudine dei triangoli risulta
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}$
Sostituendo si ottiene
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CA}$
da cui
$A'B'=\frac{AB^2}{BC} \qquad e \qquad AB*CA=BC^2$
Indicando con h la misura di AB e con k la misura di BC si ottiene
$AB=h \qquad BC=k \qquad CA=\frac{k^2}{h} \qquad e \qquad A'B'=\frac{h^2}{k} \qquad B'C'=h \qquad C'A'=k$
Per valori tutti i valori di h e k (positivi) per cui le precedenti soddisfano alle disuguaglianze triangolari si hanno quindi coppie di triangoli 5-con. (E' sufficiente considerare uno solo dei due triangoli in quanto l'altro è simile al primo.)
Risolvendo le relative disequazioni si ricava che deve essere
$k\frac{\sqr{5}-1}{2}<h<k\frac{\sqr{5}+1}{2}$
Calcolando i coseni degli angoli si può vedere che per
$k\frac{\sqr{2\sqr{5}-2}}{2}<h<k\frac{\sqr{2\sqr{5}+2}}{2}$
i triangoli sono acutangoli, per
$h=k\frac{\sqr{2\sqr{5}-2}}{2} \qquad oppure \qquad h=k\frac{\sqr{2\sqr{5}+2}}{2}$
i triangoli sono rettangoli, altrimenti sono ottusangoli.
Una delle coppie di triangoli rettangoli è data ad esempio da
$AB=\sqr{2\sqr{5}+2} \qquad BC=2 \qquad CA=\sqr{2\sqr{5}-2} \qquad A'B'=\sqr{5}+1 \qquad B'C'=\sqr{2\sqr{5}+2} \qquad C'A'=2$
Rimane così dimostrato che esistono infinite coppie di triangoli non uguali ma con cinque elementi uguali. (Forse avrei dovuto usare la parola congruenti).
E' possibile che due triangoli abbiano cinque elementi uguali su sei, ma non siano congruenti? Se si fornire un esempio se no dimostrarlo.
Chiamo 5-con due triangoli diversi ma con cinque elementi (lati o angoli) uguali. Tali elementi devono essere tre angoli e due lati: i due triangoli sono quindi simili.
Moltiplicando i lati (misure) di due triangoli 5-con per uno stesso numero, per similitudine si ottengono altri due triangoli 5-con.
Siano ABC e A'B'C' due triangoli simili riferiti in modo che A corrisponda ad A' ecc..
Affinché tali triangoli siano 5-con devono avere due coppie lati (non corrispondenti) uguali. Il lato BC non può essere uguale a B'C' in quanto i triangoli sarebbero uguali: supponiamo che sia BC=C'A'. Il lato AB non può allora essere uguale né a A'B' né a C'A' e poniamo quindi AB=B'C'.
Dalla similitudine dei triangoli risulta
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{C'A'}{CA}$
Sostituendo si ottiene
$\frac{A'B'}{AB}=\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{CA}$
da cui
$A'B'=\frac{AB^2}{BC} \qquad e \qquad AB*CA=BC^2$
Indicando con h la misura di AB e con k la misura di BC si ottiene
$AB=h \qquad BC=k \qquad CA=\frac{k^2}{h} \qquad e \qquad A'B'=\frac{h^2}{k} \qquad B'C'=h \qquad C'A'=k$
Per valori tutti i valori di h e k (positivi) per cui le precedenti soddisfano alle disuguaglianze triangolari si hanno quindi coppie di triangoli 5-con. (E' sufficiente considerare uno solo dei due triangoli in quanto l'altro è simile al primo.)
Risolvendo le relative disequazioni si ricava che deve essere
$k\frac{\sqr{5}-1}{2}<h<k\frac{\sqr{5}+1}{2}$
Calcolando i coseni degli angoli si può vedere che per
$k\frac{\sqr{2\sqr{5}-2}}{2}<h<k\frac{\sqr{2\sqr{5}+2}}{2}$
i triangoli sono acutangoli, per
$h=k\frac{\sqr{2\sqr{5}-2}}{2} \qquad oppure \qquad h=k\frac{\sqr{2\sqr{5}+2}}{2}$
i triangoli sono rettangoli, altrimenti sono ottusangoli.
Una delle coppie di triangoli rettangoli è data ad esempio da
$AB=\sqr{2\sqr{5}+2} \qquad BC=2 \qquad CA=\sqr{2\sqr{5}-2} \qquad A'B'=\sqr{5}+1 \qquad B'C'=\sqr{2\sqr{5}+2} \qquad C'A'=2$
Rimane così dimostrato che esistono infinite coppie di triangoli non uguali ma con cinque elementi uguali. (Forse avrei dovuto usare la parola congruenti).
Vittorio