Quando non c'è proprio niente

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Pigreco
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Quando non c'è proprio niente

Messaggio da Pigreco »

Vi porto i saluti da casa mia :-) dove le vacanze, finite da un bel pezzo, hanno lasciato spazio allo studio di algebra, materia che adoro anche se mi fa faticare moltissimo...

Sono particolarmente interessanti alcuni casi, l'ultimo dei quali l'ho affrontato poco fa:
Ci sono delle definizioni che coinvolgono quel meraviglioso simbolo $\forall$

esempio: una relazione $\rho$ in un insieme S si dice riflessiva quando $\forall s \in S$ è $s \rho s$

allora la relazione vuota cioè quella relazione in cui nessun elemento è in realzione con nessun altro non è riflessiva (se l'insieme contiene almeno un elemento)

però consideriamo adesso la proprietà simmetrica:
una relazione $\rho$ in un insieme S si dice simmetrica quando $\forall a,b \in S$ t.c. $a \rho b$ è anche $b \rho a$

e allora sempre la relazione vuota è simmetrica, perchè ogni volta che accade la prima cosa (mai!) accade anche la seconda...

Questo è interessante, perchè l'insieme vuoto, le relazioni vuote, eccetera godono per questo motivo di tantissime proprietà proprio per il fatto che non ha elementi, e quindi se una proprietà deve valere per ogni elemento allora vale...

Cosa ne pensate?

altra cosa, per rimanere in tema? chi di voi è appassionato di algebra? (algebra astratta: gruppi, anelli, campi, gruppi quoziente, eccetera)
Pi greco

delfo52
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Messaggio da delfo52 »

non so certo darti la risposta, ma consiglio a tutti, sull'argomento:
John D. Barrow "The book of nothing" (Cape ed. 2000)
trad italiana "Da zero a infinito; la grande storia del nulla" (Mondadori)
Affascinante come tutte le opere di JDB, parla anche degli insiemi vuoti. Avendolo appena comprato, sono arrivato fino a pag 133, mentre l'argomento che ti interessa, comincia a pag 162....
Enrico

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Caro $\pi$, mi piacerebbe che mi piacesse, ma non ci capisco un tubo!
Comunque sono felice per te.
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Tino
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Re: Quando non c'è proprio niente

Messaggio da Tino »

Pigreco ha scritto:altra cosa, per rimanere in tema? chi di voi è appassionato di algebra? (algebra astratta: gruppi, anelli, campi, gruppi quoziente, eccetera)
Io :D

Sì è vero, l'insieme vuoto gode di molte proprietà interessanti. Una che mi fa sbellicare è la seguente: l'insieme

$\prod_{i \in \emptyset} X_i$

non è vuoto :lol:

Una volta ero convinto di aver dimostrato che la proprietà riflessiva di una relazione discendesse logicamente dalle proprietà transitiva e simmetrica, in questo modo: se a è in relazione con b, allora b è in relazione con a per la simmetrica, quindi $a \sim b \sim a$, e per la transitività $a \sim a$. Ovviamente ciò è vero se e solo se ogni elemento è in relazione con qualcosa :)

La relazione vuota ha molte proprietà interessanti: è simmetrica, antisimmetrica, transitiva, totale ... inoltre in essa ogni elemento che è in relazione con se stesso è un temperino che suona :D .
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
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infinito
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Re: Quando non c'è proprio niente

Messaggio da infinito »

Pigreco ha scritto:... allora la relazione vuota cioè quella relazione in cui nessun elemento è in realzione con nessun altro non è riflessiva (se l'insieme contiene almeno un elemento) ...
Ecco, questo mi pare interessante: la relazione vuota cioè quella relazione in cui nessun elemento è in relazione con nessun altro definita nell'insieme vuoto, è riflessiva.
Quindi è una relazione di equivalenza, di ordine, ecc. ecc.
Direi che verifica “quasi tutte” le proprietà definite dal “per ogni”, mentre non ne verifica “quasi nessuna” definita dal simbolo “esiste”.


Pigreco ha scritto:Cosa ne pensate?

altra cosa, per rimanere in tema? chi di voi è appassionato di algebra? (algebra astratta: gruppi, anelli, campi, gruppi quoziente, eccetera)
Secondo me è interessante che l'insieme vuoto, per qualunque tipo di operazioni ci si possa mettere, non sarà mai “un gruppo, un anello, un campo, un gruppo quoziente, eccetera”;
invece se ci metto un elemento (che chiamo “0”, e anche "1") e delle opportune operazioni “+”, “*”, ecc. (tutte tali che operando lo “0” con lo “0” ottengo lo “0”), posso ottenere “un gruppo, un anello, un campo, un gruppo quoziente, eccetera”, e molto di più.




Poi mi vine in mente che nell'immaginario collettivo “prima della creazione c'era il nulla” (però non mi pare di riuscire a leggerlo nella Bibbia), per cui potrebbe sembrare che Dio e nulla siano “coevi”, cioè (sono arrivato al “dunque”) che il nulla (come dire: "l'insieme vuoto)", è “da sempre”, è “infinito” come Dio.

Beh, non l'ho certo dimostrato (me ne guardo bene), ma questo è un concetto che secondo me sottostà a moltissimi “pensieri”.
Gaspero

Pigreco
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Messaggio da Pigreco »

Per quanto riguarda la riflessività della relazione vuota, ricordo che una professoressa ce ne aveva parlato. Disse che nel mondo matematico c'erano entrambe le correnti di pensiero, ovvero chi sostiene che la relazione vuota sia riflessiva e chi non lo sostiene...
La definizione di proprietà riflessiva di una relazione su un insieme X è quella sopra data, ogni elemento dell'insieme X in cui vale la relazione deve essere in relazione con se stesso. Per cui o l'insieme X è vuoto, per cui la proprietà è riflessiva, oppure esiste almeno un elemento che non è in relazione con se stesso (perchè la relazione è vuota) e quindi la definizione non è soddisfatta.
Con questa definizione la relazione vuota su un insieme non vuoto non può essere riflessiva. Sinceramente sono in dubbio, perchè applicando questa definizione non può che essere così, tuttavia viene da pensare di logica che la relazione vuota sia "di equivalenza", perchè ogni elemento "sta sullo stesso piano" degli altri... e per questo la proprietà riflessiva dovrebbe valere.
Cambiare la definizione si potrebbe... ma io ho sempre trovato in giro questa...
Tu infinito perchè pensi che sia riflessiva?

Belle anche le ultime due osservazioni... in effetti facendo verifiche di algebra spesso (quando bisogna mostrare che qualcosa è qualcos'altro) bisognerebbe iniziare con il mostrare che non è vuoto, soprattutto facendo tipi particolari di verifiche.
Per esempio se per mostrare che un insieme è un gruppo passo attraverso la definizione e verifico le varie proprietà (ormai, con i quesiti di maturità siamo abituati :-) ) non serve verificare che non è vuoto, perchè quando mostro che possiede elemento neutro faccio automaticamente una verifica del fatto che contenga qualcosa.
Invece, se devo dimostrare che un insieme H è un sottogruppo di qualche cosa (sottoinsieme + gruppo rispetto alla stessa operazione), oltre ad usare la definizione posso usare una proposizione che dice che per ogni x,y appartenenti ad H è $xy^{-1} \in H$... ma in questo caso allora si dovrebbe prima verificare che H non è vuoto...

(fantastico)
Pi greco

infinito
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Messaggio da infinito »

Pigreco ha scritto:Per quanto riguarda la riflessività della relazione vuota, ricordo che una professoressa ce ne aveva parlato. Disse che nel mondo matematico c'erano entrambe le correnti di pensiero, ovvero chi sostiene che la relazione vuota sia riflessiva e chi non lo sostiene...
La definizione di proprietà riflessiva di una relazione su un insieme X è quella sopra data, ogni elemento dell'insieme X in cui vale la relazione deve essere in relazione con se stesso. Per cui o l'insieme X è vuoto, per cui la proprietà è riflessiva, oppure esiste almeno un elemento che non è in relazione con se stesso (perchè la relazione è vuota) e quindi la definizione non è soddisfatta.
Con questa definizione la relazione vuota su un insieme non vuoto non può essere riflessiva. Sinceramente sono in dubbio, perchè applicando questa definizione non può che essere così, tuttavia viene da pensare di logica che la relazione vuota sia "di equivalenza", perchè ogni elemento "sta sullo stesso piano" degli altri... e per questo la proprietà riflessiva dovrebbe valere.
Cambiare la definizione si potrebbe... ma io ho sempre trovato in giro questa...
Tu infinito perchè pensi che sia riflessiva?
«Tu infinito perché pensi che sia riflessiva?» Non ho capito bene: io penso che la relazione vuota DEFINITA NELL'INSIEME VUOTO (cioè con X insieme vuoto) sia riflessiva, cosa che hai detto anche tu.

Devo dire che ci ho messo un bel po' di tempo ad avere qualche idea per risponderti:
prima capire quello che dicevi,
poi per abbozzare una risposta (che ho cambiato, anche stravolgendola, diverse volte),
infine sono arrivato a quella che segue.

Sì: «viene da pensare di logica che la relazione vuota sia "di equivalenza", perchè ogni elemento "sta sullo stesso piano" degli altri», e anch'io condivido che in un certo senso la relazione “sia di equivalenza” se intesa secondo il senso “comune”.
Però spesso nelle nostre definizioni noi abbiamo delle richieste “aggiuntive”, di cui “diverso da zero” e “non vuoto” sono fra le più comuni; ma si mettono solo per sfizio, ma perché (supposto che di fatto si definiscano enti diversi) a volte si ottengono oggetti che interessano di più.
Per esempio quando si parla di anelli, campi, algebre, ... si richiede che siano strutture non banali (cioè che no abbiano solo lo 0, elemento neutro per la somma e per il prodotto), altrimenti in troppe dimostrazioni si dovrebbero “considerare due casi” (per esempio nelle dimostrazioni per assurdo in cui si arriva alla frase «... allora 3 sarebbe uguale a 2: assurdo», che nell'algebra banale è invece vera).
Ebbene: anche in questo caso si è aggiunta una richiesta a quella di “equivalenza in senso comune”, cioè che la relazione sia “su tutto”.

Però la motivazione più profonda credo che si trovi nella “necessità” di arrivare al concetto di “insieme quoziente”.
Se X è non vuoto e R è la relazione vuota (su X), non ho l'insieme quoziente; se invece X è vuoto allora ce l'ho)

Questo mi ha fatto capire che il concetto «viene da pensare di logica che la relazione vuota sia "di equivalenza", perchè ogni elemento "sta sullo stesso piano" degli altri» non sia corretta: nell'insieme dei naturali la relazione “avere lo stesso resto nella divisione per 3” non mette tutti gli elementi sullo stesso piano, ma lo fa per tutti gli elementi che sono in relazione con un singolo elemento ... e anche questo elemento “è bene” che lo sia.

In conclusione non cambierei affatto al definizione, e lascerei sicuramente la richiesta “forte”.
Tino ha scritto:Sì è vero, l'insieme vuoto gode di molte proprietà interessanti. Una che mi fa sbellicare è la seguente: l'insieme

$\prod_{i \in \emptyset} X_i$

non è vuoto :lol:
Sì, può sembrare strano. Però me ne ricorda una che, secondo me, è più comune e più interessante, tant'è che qualche anno fa ci ho fatto una lunghissima discussione proprio qui su base cinque:

L'insieme delle funzioni dall'insieme vuoto all'insieme vuoto ha cardinalità 1, che si scrive ... beh, non mi riesce (sarebbe all'incirca”vuoto alla vuoto = {vuoto}).

L'interessante è che, supposto (come è) che le operazioni di somma e prodotto traggano la loro origine dalla cardinalità dell'insieme unione (fra insiemi disgiunti) e prodotto, e che l'operazione di potenza la tragga dalla cardinalità dell'insieme delle funzioni fra due insiemi, che si dimostra che
0° =1 .





Comunque un'altra interessantissima cosa è che i numeri naturali si possono introdurre in vari modi, uno dei quali usa l'insieme vuoto.
Qui, per fornire “esempi” di insiemi di cardinalità 0, 1, 2, 3, 4, ...n, ... si attua così:
{},
{{}},
{{}, {{}}},
{{}, {{}}, {{}, {{}}}},
{{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}}},
{{}, {{}}, {{}, {{}}}, ..., {{}, {{}}, ..., {... ...}}} (dove l'ultima serie di grafe chiuse ne conta “n+1”),
...

e quello che è ancor più interessante è che è possibile “continuare” “fino all'infinito e oltre” (tratto da Buzz Lightyear), nel senso che si arriva non sono alla cardinalità del numerabile, ma a definire tutti i transifiniti.
Gaspero

Tino
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Messaggio da Tino »

infinito ha scritto:
Tino ha scritto:Sì è vero, l'insieme vuoto gode di molte proprietà interessanti. Una che mi fa sbellicare è la seguente: l'insieme

$\prod_{i \in \emptyset} X_i$

non è vuoto :lol:
Sì, può sembrare strano. Però me ne ricorda una che, secondo me, è più comune e più interessante, tant'è che qualche anno fa ci ho fatto una lunghissima discussione proprio qui su base cinque:

L'insieme delle funzioni dall'insieme vuoto all'insieme vuoto ha cardinalità 1, che si scrive ... beh, non mi riesce (sarebbe all'incirca”vuoto alla vuoto = {vuoto}).
Ti faccio solo notare un collegamento tra ciò che ho scritto io e ciò che hai scritto tu: il prodotto cartesiano $\prod_{i \in I}X_i$ è definito come l'insieme delle funzioni $f:I \to \cup_{i \in I}X_i$ tali che $f(i) \in X_i\ \forall i \in I$. Quindi se $I=\emptyset$ abbiamo sicuramente almeno la funzione vuota. Oltretutto, come corollario:

$\emptyset \in \prod_{i \in \emptyset} \emptyset$ (detto a parole significa proprio che il vuoto è una funzione dal vuoto al vuoto),

che mi sembra una bella formula :D

Edito: anzi, $\{\emptyset\} = \prod_{i \in \emptyset} \emptyset$ (così abbiamo anche l'unicità :wink: )
"Oh! But I have been blind- blind. Complex, I have said?
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(Peril At End House)

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