uscite del venerdì sera (1)

Pigreco · Messaggio da **Pigreco** » ven giu 08, 2007 11:53 pm

Questa sera sono uscito e ho incontrato un gruppo di rette che giravano per la città... sono una buona compagnia e mi hanno spiegato che le rette (ma anche altre curve algebriche) escono insieme solo quando si possono rappresentare come una "compagnia" di elementi legati da un parametro...
Forse voi conoscete i "fasci di rette"... sono quelli che si mettono sempre più in mostra... ma in giro se si vede bene si trova veramente di tutto...

Quella di questa sera era la compagnia $y=mx+\frac{1}{m}$

Senza aspettare di incontrarla in giro, cosa mi sapete dire di interessante?

Jumpy94 · Messaggio da **Jumpy94** » sab giu 09, 2007 5:42 pm

Se si osserva il grafico cartesiano di alcune rette di questo tipo, le rette vanno a delineare una parabola del tipo $x=ay^2$...scommeto che la si deve determinare.

Jumpy94 · Messaggio da **Jumpy94** » sab giu 09, 2007 5:47 pm

Semplice: $x=1/4y^2$.

Si può dire che la compagnia delle rette di questa sera è l'insieme delle tangenti alla parabola appena trovata

Pigreco · Messaggio da **Pigreco** » sab giu 09, 2007 6:07 pm

che bravo! e come hai fatto a trovarla?

Jumpy94 · Messaggio da **Jumpy94** » sab giu 09, 2007 6:41 pm

Si mette a sistema una retta generica $y=mx+1/m$ con $m=1$ per esempio, e una parabola generica del tipo $x=ay^2$.
$\left\{ \begin{array}{ll} x=ay^2 \\ y=x+1 \end{array} \right.$
Si impone che l'equazione $ay^2-y+1=0$ abbia, per un oportuno valore di a, due soluzioni reali e coincidenti in modo da rendere tangenti i due luoghi del piano. Si ricava quindi $1-a4=0$, $a=1/4$ ed è fatta!

Ma a quanto pare le serate non finiscono qui, vediamo cosa ci aspetta il sabato sera...

Pigreco · Messaggio da **Pigreco** » dom giu 10, 2007 10:34 am

mmh, questo è un buon modo (non ci avevo pensato) ma come fai a sapere prima che è una parabola?

Jumpy94 · Messaggio da **Jumpy94** » dom giu 10, 2007 4:34 pm

E' quasi banale arrivarci se si osserva il grafico di alcune rette di questo tipo. Si potrebbe partire stesso dalla parabola per dimostrare che ogni sua retta tangente deve essere del tipo $y=mx+\frac{1}{m}$. Infatti, come prima, la condizione necessaria affinché una retta sia tangente alla parabola deve essere (per una retta generica $y=mx+n$): $1-4amn=0$, nel nostro caso a=1/4 da cui $n=\frac{1}{m}$. Spero sia abbastanza $\pi$, anche se non penso. Tu vuoi partire dalle rette per arrivare alla parabola (senza trucchi), e non penso sia semplice come il contrario. Io ritento.

Ciao.
Giampietro
Nardone.

Pigreco · Messaggio da **Pigreco** » dom giu 10, 2007 10:18 pm

ok, buona idea...

E se la famiglia fosse stata questa?

$k^2y = x + k(3k - 2)$

Jumpy94 · Messaggio da **Jumpy94** » lun giu 11, 2007 3:48 pm

Con la speranza di non sbagliarmi: $y=\frac{3x-1}{x}$.
Se è giusta, l'ho trovata come prima: osservando dapprima il grafico di alcune rette, poi intuisco la conica, tento di trovarla con alcune osservazioni.