Bella idea Franco, pratica e intelligente,
certo bisogna ammettere la possibilità di dire i colori in lingue diverse e ammettere la possibilità che esistano infinite lingue.


PS: E ultimo ma non meno importante, che i nani conoscano infinite lingue

Enrico, la tua soluzione è "tranquilla", ma fai una strage di nani!
Allora tanto vale adottare una strategia usando una funzione del tipo k^n (o k!) (con k>1)

- il primo nano dice la SOMMA MOD num.colori dei successivi k nani (e ne salva k)
- l'ultimo dei nani salvati si sacrifica e dice la SOMMA MOD num.colori dei successivi k^2 nani (e ne salva k^2)
...
- al passaggio n-esimo, l'ultimo dei nani salvati si sacrifica e dice la SOMMA MOD num.colori dei successivi k^n nani (e ne salva k^n)

La funzione k^n tende prepotentemente all'infinito e andando avanti, i nani sacrificati saranno sempre più rari (ancorché infiniti, cioè tanti quanti i tuoi...)

Franco,
Buona l'ipotesi della lingua: da approfondire.

Jepa,
i nani NON devono conoscere infinite lingue perché i cappeli sono infiniti ma il numero di colori diversi (mi sembra) è FINITO.

Una mia soluzione demenziale:
Supponiamo che un nano viva 1000 anni e impiegi 1 secondo a dire il nome di un colore.

- il primo nano dice la SOMMA MOD num.colori dei successivi 31536000000 nani

- 31536000000 nani saranno salvi e tutti gli altri saranno morti di morte naturale.

Conclusione: solo un nano si è sacrificato, BEATO LUI!
Ve lo immaginate stare in fila per mille anni aspettando soltanto di dire: "Giallo"?

Gianfranco

Ciao a tutti,

ho avuto un'altra idea che mi piace ed è meno vaga delle altre mie precedenti.

Concedetemi di non usare in modo pesante formule, indici e sommatorie ma di ragionare per semplici esempi. Se funziona, generalizzeremo.

Partiamo dalla strategia standard per un numero finito di nanetti: il primo nano fa la somma di tutti i numeri che vede davanti a sè e dice SOMMA MOD numero di colori.

Per semplicità supponiamo che invece dei colori, sui cappelli siano scritti dei NUMERI da 0 a 9, così ragioniamo in base 10.

Consideriamo il caso di infiniti nani.

Mi sono chiesto: esiste una (o più) PROPRIETA' della sequenza infinita di numeri scritti sui cappelli che possa essere percepita da TUTTI i nani e SUBITO?

La risposta è: SI'

E' evidente che non si può fare una somma di infiniti termini ma si possono fare infinite somme parziali da 1 a k e per ciascuna calcolare il MOD n.COLORI

La proprietà è qualcosa che si ripete infinite volte (nei SOMMA MOD n.COLORI), anche se in modo non necessariamente regolare.

Vediamo qual è questa proprietà esaminando un caso particolarissimo.

a) il primo nano guarda il numero scritto sul cappello del secondo nano: supponiamo che sia 3. Pone allora SOMMA=3, inoltre SOMMA MOD 10 = 3

b) il primo nano aggiunge alla SOMMA il numero sul cappello del terzo, del quarto nano... e così via e ogni volta calcola SOMMA MOD 10.

c) andando avanti così, prima o poi POTREBBE trovare DUE SOMME che finiscono per lo stesso numero, ad esempio per 5, e avrebbe per entrambe SOMMA MOD 10 = 5

d) andando avanti così POTREBBE anche trovare altre SOMME che finiscono per 5, anzi POTREBBE trovarne INFINITE.

e) supponiamo che le trovi effettivamente.

f) PRECISAZIONE: se non le trova per 5, deve trovarle comunque per un altro numero perché se i nani sono infiniti ALMENO un modulo deve ripetersi infinite volte.

g) dunque supponiamo che il primo nano abbia trovato che la proprietà SOMMA_da nano2 a nanok MOD 10 = 5 si ripete infinite volte nella serie dei nani.

h) PUNTO CRITICO: supponiamo anche che il 5 sia l'UNICO numero che si ripete infinite volte.

i) io dico che TUTTI i nani e SUBITO si rendono conto di questa proprietà (facendo sui nani che li seguono le stesse operazioni che ha fatto il primo nano). Naturalmente il loro SOMMA_i MOD 10 non sarà = 5 ma dipenderà dai numeri sui cappelli dei nani che li precedono. TUTTAVIA TUTTI i nani vedranno UN UNICO VALORE SOMMA MOD 10 che si ripete infinite volte davanti a loro. Gli intervalli a cui si ripete possono essere IRREGOLARI o REGOLARI, ma di questo non ce ne frega niente.

j) ad esempio, il secondo nano che sul cappello ha 3, vedrà ripetersi infinite volte SOMMA MOD 10 = 5-3 = 2

h) ed eccoci alla strategia, valida nel caso di UN SOLO MOD che si ripete infinite volte:

- il primo nano dice: "Cinque", cioè il MOD che LUI vede ripetersi infinite volte.
- il secondo nano, che invece vede ripetersi il 2, fa (5-2) MOD 10 = 3, e dice: "Tre".
- il terzo nano, poniamo che sul cappello abbia un 7, vedrà ripetersi il (3-7) MOD 10 = -4 MOD 10 = 6 MOD 10 e quindi dice: "Sei".

e avanti così: ogni nano, ascoltando il nano precedente e osservando gli infiniti nani che lo seguono potrà calcolare il numero sul proprio cappello.


DIFFICOLTA'
Supponiamo ora che il primo nano veda PIU' DI UN SOMMA MOD 10 che si ripete infinite volte.
Stessa cosa vedranno anche gli altri nani.

Come faranno i nani per accordarsi su QUALE dire?

Forse il primo che incontra?

Forse l'ultimo?

Questo non lo so...

Gianfranco

Scusate, sono il solito ritardatario e ritardato e sono rimasto alla risposta di Sancho, che non ancora mi è chiara, cioè non ho capito come fa ogni nano a passare contemporaneamente 2 informazioni: una ai nani che lo precedono e l’altra a chi deve decidere se condannarlo o meno; per cui vorrei passare ad un esempio pratico:

I nani sono 5 ed i colori 4:

Blu in testa al 1° nano (il primo che parla, perché sta dietro a tutti)
Rosso in testa al 2° (il secondo che parla)
Verde in testa 3°
Giallo per il 4°
Giallo per il 5° (l’ultimo a parlare, perché non ha nessuno davanti)

Numeriamo i colori secondo un accordo che i nani prendono fra loro:

Blu = 0
Rosso = 2
Verde = 1
Giallo = 3

questa è la situazione:

1° nano - Blu – codice 0
2° nano - Rosso - codice 2
3° nano - Verde – Codice 1
4° nano - Giallo – Codice 3
5° nano - Giallo – Codice 3

il primo vede davanti a sé, tradotti in numeri, 2+1+3+3 = 9, il cui modulo 4 è 1, e quindi passa agli altri l’informazione, dicendo il colore corrispondente a 1, cioè “Verde” (lui ce l’ha Blu e viene condannato);

il secondo vede davanti a sé la somma 7 (mod 4 = 3) e deduce, poiché 1 - 3 = -2 = 2, che lui ha il colore con codice 2, cioè il rosso: dunque, per salvarsi deve dire “Rosso”, però dicendo “Rosso”, è vero che si salva, ma passa agli altri nani l’informazione secondo cui lui vede una somma con modulo 2, mentre avrebbe dovuto dire il colore corrispondente a 3, cioè “Giallo”, nel qual caso avrebbe passato la giusta informazione, ma sarebbe stato condannato.
Insomma, il secondo deve dire “Rosso” per salvarsi e “Giallo” per passare la giusta informazione agli altri, il che non è possibile; il sistema mi pare che funzioni solo per far capire ad ogni nano il colore del proprio cappello, ma non per dichiarare ciascuno il proprio: occorrerebbero una dichiarazione per sé e una per gli altri.

Presumo di non aver capito come funziona il sistema proposto e chi avesse voglia di spiegarmi la giusta sequenza di dichiarazioni e quant’altro, oltre a svolgere un’opera meritoria, si guadagnerebbe la mia eterna gratitudine.

Il secondo dice Rosso per salvarsi.
Il terzo vede davanti a sé 3+3, sa che il primo vedeva 9 e che il secondo ha in testa 2, quindi dice 9-2-6=1 cioè Verde.
Allo stesso modo, il quarto dice 9-2-1-3=3 cioè Giallo, e l'ultimo dice 9-2-1-3=3 cioè di nuovo Giallo.
In generale ogni nano prende il colore detto dal primo della fila, sottrae la somma degli altri colori detti dietro di lui e sottrae la somma dei colori che vede davanti a sé; quello che rimane è il colore che ha in testa .

Questo problema mi innervosisce... comunque vi aggiorno con le mie elucubrazioni.

Ho letto che una formulazione (o conseguenza) dell'assioma della scelta è la seguente:

Ogni applicazione suriettiva ha un'inversa a destra.

Un'applicazione suriettiva è del tipo MOLTI-UNO.

Il boia che mette i cappelli colorati in testa ai nani praticamente fa un'applicazione suriettiva: MOLTI nani hanno UNO stesso colore.

Ad esempio, con tre colori (fig.1)
nani 1, 3, ... - colore 0
nani 2, 4, 7, ... - colore 1
nani 5, 6, ... - colore 2

Per l'assioma della scelta quest'applicazione ha un'inversa a destra.

Che cosa significa ciò?

Significa che l'insieme dei nani è diviso in tre sottoinsiemi e che posso riordinare i nani invece che 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

in quest'altro modo (cioè per colore e a parità di colore per numero):
1, 3, ..., 2, 4, 7, ..., 5, 6, ... (fig.2)

Allora posso definire l'applicazione inversa a destra:
SCELGO il MINIMO di ciascuna delle tre classi di nani come rappresentate della classe e lo associo al rispettivo colore:
(g = funzione inversa a destra)
g(1) = g(3)... = 0
g(2) = g(4)... = 1
g(5) = g(6)... = 2

Quindi una strategia esiste...
Ma, in pratica, come fanno i nani a mettersi d'accordo in anticipo?

Gianfranco

Elementare Watson! Chissà perché dovevo limitare i calcoli ad una sola sottrazione?!
Vabbene Francesco, ti ringrazio e come preannunciato, eccoti un mio tangibile, seppur modesto, segno di riconoscenza:



$\text { }$

l'immagine della caramella mi fa venire in mente un paio di corsi della Bocconi che ho frequentato (non i concorsi di giochi matematici!), in materia di gestione aziendale e altre amenità del genere.
L'immagine della caramella è un classico, quasi un logo, e simboleggia il lavoro che viene fatto in una azienda, in un comitato, in una commissione, ovunque si faccia del "problem solving".
La parte pseudo triangolare a sinistra rappresenta una sorta di imbuto attraverso cui gli imput arrivano al sistema (dati, report, segnalazioni....)
La pancia della caramella sta per il lavoro di analisi (brain storming)
e a destra il secondo fiocchetto rappresenta il canale di uscita delle soluzioni.

Pasquale, bellissima l'idea di ringraziare offrendo una caramella virtuale e molto istruttiva l'analisi di Enrico!
Gratificare e gratificarsi è di fondamentale importanza per andare avanti.

Gianfranco

Grazie: se vi comportate bene, ne ho ancora da distribuire.