...

1) Trovare tutti i triangoli rettangoli con lati interi,
nei quali l'area e il perimetro siano uguali.
(Ovvio, al di là dell'unità di misura.)

2) Esistono quattro soli numeri interi consecutivi
tali che la somma dei cubi dei primi tre equivalga
al cubo del quarto.


Bruno

Infatti, siano $b$ la base del triangolo e $h$ l'altezza, interi

Allora l'uguaglianza tra area e perimetro è :
${{bh} \over 2} = b + h + \sqrt {b^2 + h^2 }$

equazione irrazionale, elevo al quadrato e risolvo:
$bh-4b-4h+8=0$

da cui $b=\frac{4h-8}{h-4}$

o meglio $b=4+\frac{8}{h-4}$

Poichè $b$ è intero, anche il secondo membro dovrà essere un intero, quindi necessariamente 8 dovrà essere divisibile per $(h-4)$

Avremo dunque i seguenti casi:
h-4=1 -> h=5, b=12
h-4=2 -> h=6, b=8
h-4=4 -> h=8, b=6
h-4=8 -> h=12, b=5

e quindi aree/perimetri di 30 e 24

ciao

2.

$3^3+4^3+5^3=6^3$

ma al momento è solo un conticino, vediamo se nel pomeriggio riesco a dimostrarne l'unicità

ciao

La soluzione è sicuramente unica:



l'equazione ha come unica soluzione reale x=3.

Franco

...

Bravi



Ho affrontato il primo quiz con uno
spirito simile a quello di Mathmum.

Sommando x²+y² = z² al doppio di
xy = 2(x+y+z), con un paio di facili
passaggi trovo:

x+y-z = 4.

Sostituendo z in xy = 2(x+y+z),
poi, ottengo:

xy = 4x+4y-8

da cui ricavo subito:

xy-4x-4y+16 = (x-4)(y-4) = 8 = 1·8 = 2·4

e infine:

x-4 = 1 e y-4 = 8,
cioè: x = 5, y = 12 e z = 17-4 = 13;

x-4 = 2 e y-4 = 4,
cioè: x = 6, y = 8 e z = 14-4 = 10.



Nel secondo, invece, ho ragionato
così.
Detti:

a-1, a, a+1, 4+2

i quattro numeri cercati, dev'essere:

(a-1)³ + a³ + (a+1)³ = (a+2)³

dove si vede subito che a non può esser
nulla.
Da questa relazione ricavo:

a[a(a-3)-3] = 4

e fisso i seguenti punti:

- la variabile non può essere negativa,
poiché altrimenti avrei 3 > a(a-3)=-a(3-a) > 3,
che è assurdo;
- allora dev'essere a > 0, e quindi anche
a(a-3)-3 > 0, ossia a > 3.

Sapendo che a non è minore di 4 e che non
può nemmeno esserne maggiore, bisogna
che sia a = 4.

In questo modo, se non altro (salvo sviste),
ho evitato di ragionare sulle cubiche.




Bruno