Un tandem per tre

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Gianfranco
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Un tandem per tre

Messaggio da Gianfranco »

Tre amici, Aldo, Baldo e Carlo devono percorrere una strada lunga 40 km.
Hanno a disposizione un tandem con il quale due persone potrebbero completare il viaggio in un'ora.
Non possono stare in tre sul tandem.
Perciò decidono di organizzarsi: ciascuno di essi andrà un po' a piedi e un po' sul tandem.
Le loro velocità a piedi sono le seguenti:
Aldo: 1 km in 10 minuti
Baldo: 1 km in 15 minuti
Carlo: 1 km in 20 minuti

Qual è il tempo minimo in cui i tre potranno percorrere i 40 km del viaggio?

(E' un vecchio quesito di Samuel Loyd, in cerca della risposta esatta)

Gianfranco
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La versione originale di Loyd
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franco
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Messaggio da franco »

Io non ho mai usato un tandem: è possibile andarci da soli?
Franco

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Gianfranco
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Messaggio da Gianfranco »

Il tandem può essere condotto da una sola persona
In questo problema la velocità del tandem è sempre la stessa, con una o con due persone a bordo.

Gianfranco

P.S. Onestamente devo dichiarare che non conosco la soluzione di questo problema e che la soluzione data a suo tempo da Loyd è errata (secondo David Singmaster).

Perciò, se incontrate particolari difficoltà o incongruenze, siete autorizzati a:
a) modificare i dati del problema
b) ridurre questo problema ad uno simile ma più semplice

delfo52
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Messaggio da delfo52 »

come suggerimenti generici, direi che:
quando qualcuno deve andare a piedi, è conveniente che sia, più spesso possibile, il più veloce camminatore.
non può mai essere conveniente che il tandem viaggi con una sola persona a bordo, quando viaggia verso la meta
Come prima approccio istintivo mi viene da propporre (senza quantificare le distanze):
A parte a piedi
B e C partono in tandem
B viene scaricato (a occhio circa al 33esimo km)
C torna indietro a prendere A, ripartono, superano B e avanzano ancora un po'
A viena lasciato a piedi ad una distanza tale che
C torna un poco indietro a racogliere B
Tutti arrivano insieme

Questo schema mi sembra efficiente perchè mi pare quello in cui A cammina per più tempo.
Restano da individuare i due punti di "dietro-front", ma è solo questione di matematica....
SE&O
Enrico

franco
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Messaggio da franco »

Diciamo che Da e Db sono le distanze percorse a piedi da Aldo e Baldo.
Secondo me il fatto che siano percorse in un unico tratto o in più riprese è irrilevante e quindi ho fatto il grafico e i calcoli sulla base della situazione più semplice.
Niente di più probabile che ci sia qualche pasticcio visto che fare conti con una bambina di 4 anni in grambo non è molto agevole.
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Franco

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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

di primo acchitto anche io avevo pensato a questa suddivisione; ma (ripeto,senza fare calcoli) mi è parso di vedere un possibile miglioramento nel lasciare a piedi Aldo piè veloce anche alla fine; il gioco funziona se il tempo in cui si lascia a piede B è, così facendo, inferiore. Credo che dipenda dai punti di dietro-front
Enrico

franco
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Messaggio da franco »

Ho fatto qualche simulazione grafica e mi sento di dire che il numero di scambi e la sequenza dei camminatori a piedi non influisce sul tempo finale.
L'importante è che arrivino tutti assieme e che il più lento sia sempre in bici.
Franco

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Gianfranco
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Messaggio da Gianfranco »

Complimenti Franco, hai fatto un ottimo lavoro.
Sei sulla buona strada per raggiungere Eulero, che faceva matematica con due o tre figli sulle ginocchia e con un occhio solo!
C'è un piccolo problema: seguendo i tuoi calcoli, a me viene A=18/241 e B=34/723.

Molto valido lo schema grafico, anche se non è in scala. Verrebbe un parallelogrammo se velocità a piedi fossero tutte uguali.

Comunque vorrei esplorare anche l'idea di Enrico Delfini che prevede due dietro-front del tandem e quattro step. (ma leggo che l'hai già fatto)

Per ora il miglior tempo è quindi: 2h 16' 10'',...

Gianfranco

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Messaggio da franco »

Mi è venuto in mente un approccio di calcolo un poco diverso.

Le equazioni del moto di Baldo sono le seguenti (primo tratto in bici e secondo a piedi):

d=40t
d-40=4(t-T)

con esse posso trovare le coordinate “spaziotemporali” del punto B di intersezione in funzione di T.

Analogamente per Aldo le equazioni saranno (primo tratto a piedi e secondo in bici):

d=6t
d-40=40(t-T)

con le quali, sempre in funzione di T, ricavo le coordinate del punto A di intersezione.

A questo punto non dovrebbe restare che scrivere l’equazione della retta passante per A e B e trovare il valore di T tale che il coefficiente angolare sia uguale a -40 (la velocità del tandem che rientra a vuoto).

Ora non ho tempo ma provo a lavorarci stanotte; magari poi vedo di trovare il modo di trasformare in qualche formato leggibile i grafici che ho fatto (e magari li metto anche in scala :oops: ).

Sono in formato DWG; qualunque suggerimento è ben accetto!
Franco

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Messaggio da franco »

Ho sviluppato il secondo metodo raggiungendo (evidentemente) lo stesso risultato di prima.

A stasera per i grafici, sempre che ci riesca.
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Messaggio da franco »

Alla fine sono riuscito a mettere in JPG i miei grafici.

Mentre ci lavoravo su mi è venuto in mente un ulteriore possibile metodo di calcolo che si richiama ad un quesito postato poco tempo fa (LTP2: Due automobili).

Se A e B sono i tempi in cui rispettivamente Aldo e Baldo hanno camminato (indipendentemente dal fatto che sia una tratta sola o la somma di più tratte) e T è il tempo totale la velocità media sarà:

Aldo: media ponderata di 6 km/h per A ore e 40 km/h per (T-A) ore
Baldo: media ponderata di 4 km/h per B ore e 40 km/h per (T-B) ore
Carlo: media ponderata di 40 km/h per (T-A) ore con Aldo, 40 km/h per (T-B) ore con Baldo e -40 km/h per (A+B-T) ore (il tratto di ritorno a vuoto)

Le tre velocità sono uguali e pari a 40/T.

Con questi dati si dovrebbe risolvere abbastanza facilmente il sistema e trovare le tre incognite A, B e T.
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Ultima modifica di franco il lun gen 15, 2007 10:30 pm, modificato 2 volte in totale.
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Messaggio da franco »

P.S.

I grafici sono ancora non in scala ma i 4 e 6 km/h, paragonati ai 40 del tandem sono quasi indistinguibili!
Franco

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Messaggio da Gianfranco »

Grazie Franco per gli ottimi disegni.
Li ho scaricati e mi appresto ad esaminarli attentamente.
Nel frattempo ho anch'io calcolato la soluzione proposta da Enrico Delfini.
Il tempo migliore ottenibile è lo stesso!

La mia rappresentazione grafica è un po' diversa dalle tue.

Mi accorgo che i colori non sono venuti bene:
A = Aldo a piedi
B = Baldo a piedi


Gianfranco Bo
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Soluzione di Enrico
Soluzione di Enrico
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franco
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Messaggio da franco »

Uhm...

C'è qualcosa che non mi convince.
Dalle risoluzioni grafiche che col potente A9cad riesco a moltiplicare facilmente mi risulterebbe che, dato lo schema di scambi proposto da Enrico, il tempo complessivo rimane sempre lo stesso, a prescindere dal momento in cui Baldo scende dal tandem e comincia a camminare (e comunque corrisponde a quello dello schema più semplice che avevo ipotizzato in partenza).

Nella mia rappresentazione grafica in coordinate t e d (e stavolta in scala) ho disegnato in rosso il tragitto a piedi di Aldo, in giallo quello di Baldo e in ciano quello del tandem: vengono fuori dei "romboidi" (non so definire una figura con due lati paralleli e due "quasi paralleli") con la diagonale maggiore (in verde) sempre con la stessa inclinazione. E poichè tale inclinazione rappresenta la velocità media ...
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Messaggio da Gianfranco »

Hai ragione Franco, su questo problema c'è ancora da lavorare.
L'avevo inserito nel sito ma aggiornerò la pagina in base alla discussione in questo forum.

Ispirandomi ai tuoi disegni, ne ho preparato uno simile ma non in scala.
Serve solo a dare l'idea, dal punto di vista geometrico.
Facendo scorrere la linea spezzata blu e di conseguenza anche la linea verde, si ottiene un range di soluzioni comprese fra due limiti ben determinati.
Nella figura sono mostrate due soluzioni.

Gianfranco
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