Posto come nuovo argomento la risposta al quesito di delfo52 poiché non mi riesce di connettermi con il suo
Con riferimento alla figura,
$\overline {\rm AB} = \overline {\rm AA’} \; \sin \alpha$
$\overline {{\rm BH}} = \overline {{\rm AB}} \; \tan \left( {\frac{\pi }{2} - 2\alpha } \right) = \overline {{\rm AB}} \; \cot 2\alpha = \overline {{\rm AA’}} \; \sin \alpha \; \cot 2\alpha = \overline {{\rm AA’}} \; \sin \alpha \frac{{\cot ^2 \alpha - 1}}{{2\cot \alpha }}$
e quindi l’area del triangolo ${\rm ABH}$ vale
$\frac{1}{2}\overline {{\rm AB}} \times \overline {{\rm BH}} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \; \sin ^2 \alpha \frac{{\cot ^2 \alpha - 1}}{{4\cot \alpha }} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{4\cot \alpha }}$
mentre
$\overline {{\rm AO}} = \frac{1}{2}\overline {{\rm AA’}}$
$\overline {{\rm OH}} = \overline {{\rm AO}} \; \tan \alpha = \frac{1}{2}\overline {{\rm AA’}} \; \tan \alpha$
e quindi l’area del triangolo ${\rm AOH}$ vale
$\frac{1}{2}\overline {{\rm AO}} \times \overline {{\rm OH}} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \frac{1}{8}\tan \alpha$
Il rapporto tra le due aree vale
$r = \frac{{\overline {{\rm AB}} \times \overline {{\rm BH}} }}{{\overline {{\rm AO}} \times \overline {{\rm OH}} }} = \frac{{\frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{4\cot \alpha }}}} {{\frac{1}{8}\tan \alpha }} = 2\frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{\tan \alpha \; \cot \alpha }} = 2\left( {\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha } \right)$
Senza usare la trigonometria, considerando il punto ${\rm H}$ variabile sul raggio verticale in ${\rm O}$
il triangolo ${\rm A’}{\rm BA}$ è simile al triangolo ${\rm AOH}$ per cui si ha
$\frac{y}{x} = \frac{b}{a}$
ma vale anche
$a^2 + b^2 = c^2$
cioè
$\left( {\frac{{x^2 }}{{y^2 }} + 1} \right)b^2 = c^2 \quad \Leftrightarrow \quad b = \frac{{cy}}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }} = \frac{{2xy}}{z}$
l’area del triangolo ${\rm ABH}$ vale
$\frac{{b\sqrt {z^2 - b^2 } }}{2}$
mentre quella del triangolo ${\rm AOH}$ vale $\frac 1 2 xy$ e il rapporto tra le due aree vale
$r = \frac{b}{{xy}}\sqrt {z^2 - b^2 } = 2\frac{{x^2 - y^2 }}{{x^2 + y^2 }}$
dove $x$ è il raggio del cerchio e $y$ è la variabile.
Con la sostituzione
$\left\{ \begin{array}{c} x = z \quad \cos \alpha \\ y = z \quad \sin \alpha \\ \end{array} \right.$
si verifica l’equivalenza delle due soluzioni.
In mancanza di meglio
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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In mancanza di meglio
Ultima modifica di panurgo il mar dic 13, 2005 8:03 am, modificato 1 volta in totale.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
grazie del: ho provveduto a correggere il refuso.
P.S.: è davvero un peccato che tu ti professi pigro; fare disegni come quelli che vedi nella mia risposta è questione di un attimo utilizzando geogebra (http://www.geogebra.at/).
P.S.: è davvero un peccato che tu ti professi pigro; fare disegni come quelli che vedi nella mia risposta è questione di un attimo utilizzando geogebra (http://www.geogebra.at/).
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Per chi vorrebbe (ma non osa chiedere),conoscere il codice usato da panurgo per costruire le belle formule di questo topic,ci ho pensato io,perché non avevo niente di meglio da fare.
Ovviamente occorre ricordarsi dei tag tex e /tex (racchiusi nelle parentesi quadra [ ] )
Da topic In mancanza di meglio ecco a voi il panurgocodice:
\overline {\rm AB} = \overline {\rm AA’} \; \sin \alpha
\overline {{\rm BH}} = \overline {{\rm AB}} \; \tan \left( {\frac{\pi }{2} - 2\alpha } \right) = \overline {{\rm AB}} \; \cot 2\alpha = \overline {{\rm AA’}} \; \sin \alpha \; \cot 2\alpha = \overline {{\rm AA’}} \; \sin \alpha \frac{{\cot ^2 \alpha - 1}}{{2\cot \alpha }}
{\rm ABH}
\frac{1}{2}\overline {{\rm AB}} \times \overline {{\rm BH}} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \; \sin ^2 \alpha \frac{{\cot ^2 \alpha - 1}}{{4\cot \alpha }} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{4\cot \alpha }}
\overline {{\rm AO}} = \frac{1}{2}\overline {{\rm AA’}}
\overline {{\rm OH}} = \overline {{\rm AO}} \; \tan \alpha = \frac{1}{2}\overline {{\rm AA’}} \; \tan \alpha
\frac{1}{2}\overline {{\rm AO}} \times \overline {{\rm OH}} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \frac{1}{8}\tan \alpha
r = \frac{{\overline {{\rm AB}} \times \overline {{\rm BH}} }}{{\overline {{\rm AO}} \times \overline {{\rm OH}} }} = \frac{{\frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{4\cot \alpha }}}} {{\frac{1}{8}\tan \alpha }} = 2\frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{\tan \alpha \; \cot \alpha }} = 2\left( {\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha } \right)
{\rm A’}{\rm BA}
\frac{y}{x} = \frac{b}{a}
\left( {\frac{{x^2 }}{{y^2 }} + 1} \right)b^2 = c^2 \quad \Leftrightarrow \quad b = \frac{{cy}}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }} = \frac{{2xy}}{z}
\frac{{b\sqrt {z^2 - b^2 } }}{2}
r = \frac{b}{{xy}}\sqrt {z^2 - b^2 } = 2\frac{{x^2 - y^2 }}{{x^2 + y^2 }}
\left\{ \begin{array}{c} x = z \quad \cos \alpha \\ y = z \quad \sin \alpha \\ \end{array} \right.
+++
Vertiginoso!!...infatti mi gira la testa.
Scusate il disturbo.
Ciao.
Ovviamente occorre ricordarsi dei tag tex e /tex (racchiusi nelle parentesi quadra [ ] )
Da topic In mancanza di meglio ecco a voi il panurgocodice:
\overline {\rm AB} = \overline {\rm AA’} \; \sin \alpha
\overline {{\rm BH}} = \overline {{\rm AB}} \; \tan \left( {\frac{\pi }{2} - 2\alpha } \right) = \overline {{\rm AB}} \; \cot 2\alpha = \overline {{\rm AA’}} \; \sin \alpha \; \cot 2\alpha = \overline {{\rm AA’}} \; \sin \alpha \frac{{\cot ^2 \alpha - 1}}{{2\cot \alpha }}
{\rm ABH}
\frac{1}{2}\overline {{\rm AB}} \times \overline {{\rm BH}} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \; \sin ^2 \alpha \frac{{\cot ^2 \alpha - 1}}{{4\cot \alpha }} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{4\cot \alpha }}
\overline {{\rm AO}} = \frac{1}{2}\overline {{\rm AA’}}
\overline {{\rm OH}} = \overline {{\rm AO}} \; \tan \alpha = \frac{1}{2}\overline {{\rm AA’}} \; \tan \alpha
\frac{1}{2}\overline {{\rm AO}} \times \overline {{\rm OH}} = \overline {{\rm AA’}} ^2 \frac{1}{8}\tan \alpha
r = \frac{{\overline {{\rm AB}} \times \overline {{\rm BH}} }}{{\overline {{\rm AO}} \times \overline {{\rm OH}} }} = \frac{{\frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{4\cot \alpha }}}} {{\frac{1}{8}\tan \alpha }} = 2\frac{{\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha }}{{\tan \alpha \; \cot \alpha }} = 2\left( {\cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha } \right)
{\rm A’}{\rm BA}
\frac{y}{x} = \frac{b}{a}
\left( {\frac{{x^2 }}{{y^2 }} + 1} \right)b^2 = c^2 \quad \Leftrightarrow \quad b = \frac{{cy}}{{\sqrt {x^2 + y^2 } }} = \frac{{2xy}}{z}
\frac{{b\sqrt {z^2 - b^2 } }}{2}
r = \frac{b}{{xy}}\sqrt {z^2 - b^2 } = 2\frac{{x^2 - y^2 }}{{x^2 + y^2 }}
\left\{ \begin{array}{c} x = z \quad \cos \alpha \\ y = z \quad \sin \alpha \\ \end{array} \right.
+++
Vertiginoso!!...infatti mi gira la testa.
Scusate il disturbo.
Ciao.
Peppe