Dunque, basta dimostrare che m e f(m) sono primi tra loro;Admin ha scritto:Dalla sezione "Aritmetica russa"
Funzioni di funzioni
Sia f(x) = x2 + x + 1.
Dimostrare che per ogni numero naturale m>1 i numeri m, f(m), f(f(m)), ... sono primi fra loro.
(Tashkent, 1978)
dopo di che è ovvio che anche f(m) e f(f(m)) sono primi tra loro;
se poi la traccia intende che tutti i numeri m, f(m), f(f(m)), ... devono essere primi tra loro, ossia che tutti non abbiano alcun divisore in comune >1, a maggior ragione basta solo dimostrare che m e f(m) sono primi tra loro.
La dimostrazione che m ed f(m) sono primi tra loro è alquanto semplice:
Supponiamo che m abbia un divisore qualsiasi, ossia
$m\equiv 0\,\pmod n$
Si evince immediatamente che
$m^2+m+1\equiv 0^2+0+1\,\pmod n \;\Rightarrow\; m^2+m+1\equiv 1 \,\pmod n\;\forall n>1\,:\,n\in N$
ossia ogni divisore di m non sarà mai un divisore di f(m);
quindi m ed f(m) sono primi tra loro.
Comunque, visti gli altri problemi di aritmetica russa, questo mi sembra fin troppo semplice.
Ho dimenticato qualcosa?
Ciao
Admin