Nella Padania....
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Nella Padania....
... notoriamente piatta, ci sono 6 ridenti (?) cittadine.
La distanza minima tra ogni coppia di cittadine è $x$ chilometri, mentre la distanza massima tra ogni coppia è $X$ chilometri.
Dimostrare che $\frac{X}{x}\geq\sqrt{3}$
... e adesso torno a fare l'imbianchina (al momento sono in fase stuccatura, e già posso dire che I'm stuck )
ciao!
La distanza minima tra ogni coppia di cittadine è $x$ chilometri, mentre la distanza massima tra ogni coppia è $X$ chilometri.
Dimostrare che $\frac{X}{x}\geq\sqrt{3}$
... e adesso torno a fare l'imbianchina (al momento sono in fase stuccatura, e già posso dire che I'm stuck )
ciao!
mathmum
...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...
...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...
a occhio, la disposizione spaziale più adatta, sembrerebbe quella che associa la massima compattezza globale(X piccolo) ad un grande sparpagliamento singolo (x grande).
Sempre a lume di naso, qualcosa simile ai 5 vertici del pentagono regolare col suo bel centro.
Non ho voglia di stare a controllare.
Sempre a lume di naso, qualcosa simile ai 5 vertici del pentagono regolare col suo bel centro.
Non ho voglia di stare a controllare.
Enrico
Qualche riflessione
Definisco $\zeta \equiv \frac {\max} {\min}$: in generale vale $\zeta \geq 1$
Il valore minimo di $\zeta$ può essere raggiunto solo se $\min = \max$: questo è possibile solo con due o tre cittadine.
Disponiamo $n$ cittadine ai vertici di un $n$-gono regolare inscritto in un cerchio di raggio (per semplicità e senza perdita di generalità) unitario; definiamo il diametro del poligono come la massima distanza tra due vertici,
$D \equiv 2 \sin \frac {\lfloor n/2 \rfloor \pi} {n}$
dove $\lfloor n/2 \rfloor$ è la parte intera della divisione: $D = 2$ se $n$ è pari mentre, se $n$ è dispari, $D 5$ perché al di sotto di tale valore il lato del poligono cessa di essere la distanza minima (e non esiste la regione di "indifferenza": tratterò quindi i casi con $n \leq 5$ come casi particolari.
Per $n < 2$ viene meno la nozione di distanza.
Per $n = 2$ vi è una sola distanza e minimo e massimo coincidono: $\zeta = 1$
Per $n = 3$, $\zeta$ è minimo quando le cittadine sono equidistanti, cioè sui vertici di un triangolo equilatero:$\zeta = 1$
Il primo caso interessante si ha per $n = 4$.
Partiamo da tre cittadine sui vertici di un triangolo equilatero: data la simmetria della disposizione, basta considerare la regione di piano individuata nella figura successiva.
Se il punto $\text P$ (la quarta cittadina) giace nella regione individuata nella figura successiva, $\max = D$ e $\min = \overline {\text AP}$
In questa regione $\zeta$ è minimo quando $\overline {\text AP}$ è massimo ($\max$ non dipende da $\text P$) e cioè quando $\text P \equiv \text O$.
Se il punto $\text P$ giace nella regione individuata nella figura successiva, $\max = \overline {\text BP}$ e $\min = l$
In questa regione $\zeta$ è minimo quando $\overline {\text BP}$ è minimo, cioè quando $\text P \equiv \text E$.
Se il punto $\text P$ giace nella regione individuata nella figura successiva, $\max = \overline {\text BP}$ e $\min = \overline {\text AP}$
Per ogni distanza $\overline {\text BP}$, $\zeta$ è minimo quando $\overline {\text AP}$ è massimo, cioè quando $\text P$ giace sul segmento $\overline {\text DE}$.
Con riferimento alla figura precedente si ha, posto $x = \overline {\text GP}$
$\zeta = \frac {\frac 12 + x} {\sqrt {\frac 34 + x^{\script 2}}$
che presenta un minimo (provare per credere) per $\text P \equiv \text E$.
Riassumento, $\zeta$ presenta un minimo per $\text O$ e $\text E$
In entrambi i casi, $\zeta = \sqrt {3}$.
Ma questo non è un minimo assoluto come risulta evidente dalla figura successiva
Quindi, per $n = 4$, $\zeta = \sqrt {2}$
Per $n = 5$, disponendo quattro cittadine sui vertici di un quadrato e una al centro si ha $\zeta = 2$ laddove, disponento le cinque cittadine sui vertici di un pentagono regolare si ha $\zeta = \frac {\sin {\frac {2 \pi}5}} {\sin {\frac {\pi}5}} = \varphi < 2$
Per $n = 6$, $D = 2$ e $l = 1$: disponendo cinque cittadine sui vertici di un pentagono regolare e la sesta al centro si ha $\zeta = \sin {\frac {2 \pi} 5}$ contro $\zeta = 2$ dell'esagono regolare.
Rifletteteci su e correggetemi se sbaglio...
P.S.: ho scritto a n a l i s i perché la parola unita viene trasformata dal CGI in analisi
P.P.S.: per Pietro, non riesco assolutamente a caricare le immagini su BASE5!
Definisco $\zeta \equiv \frac {\max} {\min}$: in generale vale $\zeta \geq 1$
Il valore minimo di $\zeta$ può essere raggiunto solo se $\min = \max$: questo è possibile solo con due o tre cittadine.
Disponiamo $n$ cittadine ai vertici di un $n$-gono regolare inscritto in un cerchio di raggio (per semplicità e senza perdita di generalità) unitario; definiamo il diametro del poligono come la massima distanza tra due vertici,
$D \equiv 2 \sin \frac {\lfloor n/2 \rfloor \pi} {n}$
dove $\lfloor n/2 \rfloor$ è la parte intera della divisione: $D = 2$ se $n$ è pari mentre, se $n$ è dispari, $D 5$ perché al di sotto di tale valore il lato del poligono cessa di essere la distanza minima (e non esiste la regione di "indifferenza": tratterò quindi i casi con $n \leq 5$ come casi particolari.
Per $n < 2$ viene meno la nozione di distanza.
Per $n = 2$ vi è una sola distanza e minimo e massimo coincidono: $\zeta = 1$
Per $n = 3$, $\zeta$ è minimo quando le cittadine sono equidistanti, cioè sui vertici di un triangolo equilatero:$\zeta = 1$
Il primo caso interessante si ha per $n = 4$.
Partiamo da tre cittadine sui vertici di un triangolo equilatero: data la simmetria della disposizione, basta considerare la regione di piano individuata nella figura successiva.
Se il punto $\text P$ (la quarta cittadina) giace nella regione individuata nella figura successiva, $\max = D$ e $\min = \overline {\text AP}$
In questa regione $\zeta$ è minimo quando $\overline {\text AP}$ è massimo ($\max$ non dipende da $\text P$) e cioè quando $\text P \equiv \text O$.
Se il punto $\text P$ giace nella regione individuata nella figura successiva, $\max = \overline {\text BP}$ e $\min = l$
In questa regione $\zeta$ è minimo quando $\overline {\text BP}$ è minimo, cioè quando $\text P \equiv \text E$.
Se il punto $\text P$ giace nella regione individuata nella figura successiva, $\max = \overline {\text BP}$ e $\min = \overline {\text AP}$
Per ogni distanza $\overline {\text BP}$, $\zeta$ è minimo quando $\overline {\text AP}$ è massimo, cioè quando $\text P$ giace sul segmento $\overline {\text DE}$.
Con riferimento alla figura precedente si ha, posto $x = \overline {\text GP}$
$\zeta = \frac {\frac 12 + x} {\sqrt {\frac 34 + x^{\script 2}}$
che presenta un minimo (provare per credere) per $\text P \equiv \text E$.
Riassumento, $\zeta$ presenta un minimo per $\text O$ e $\text E$
In entrambi i casi, $\zeta = \sqrt {3}$.
Ma questo non è un minimo assoluto come risulta evidente dalla figura successiva
Quindi, per $n = 4$, $\zeta = \sqrt {2}$
Per $n = 5$, disponendo quattro cittadine sui vertici di un quadrato e una al centro si ha $\zeta = 2$ laddove, disponento le cinque cittadine sui vertici di un pentagono regolare si ha $\zeta = \frac {\sin {\frac {2 \pi}5}} {\sin {\frac {\pi}5}} = \varphi < 2$
Per $n = 6$, $D = 2$ e $l = 1$: disponendo cinque cittadine sui vertici di un pentagono regolare e la sesta al centro si ha $\zeta = \sin {\frac {2 \pi} 5}$ contro $\zeta = 2$ dell'esagono regolare.
Rifletteteci su e correggetemi se sbaglio...
P.S.: ho scritto a n a l i s i perché la parola unita viene trasformata dal CGI in analisi
P.P.S.: per Pietro, non riesco assolutamente a caricare le immagini su BASE5!
Ultima modifica di panurgo il mer mag 31, 2006 10:07 am, modificato 1 volta in totale.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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- Amministratore del sito
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- Iscritto il: mer apr 20, 2005 3:47 pm
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Ciao panurgo,
non ho ancora avuto modo di leggere la "2° metà" del tuo intervento;
comunque complimenti!
quanto a "MAPS", non è il CGI che trasforma le parole in MAPS, ma è il servizio di censura del forum phpbb che ho aggiornato con delle liste abbastanza esaurienti prese dal web, a seguito dell'aumentare dei messaggi e delle registrazioni spam.
A tal proposito se vi capita di vedere nel vostro messaggio MAPS oppure beep al posto di una vostra parola, segnalatemelo così posso aggiustare il "censuratore".
Provvederò ad eliminare "analisi" dalla lista di parole da censurare.
Quanto al caricamento delle immagini su altervista, che problemi ti da?
ho provato adesso e mi funziona sia con firefox che con Explorer.
Fammi sapere
Ciao
Admin
non ho ancora avuto modo di leggere la "2° metà" del tuo intervento;
comunque complimenti!
quanto a "MAPS", non è il CGI che trasforma le parole in MAPS, ma è il servizio di censura del forum phpbb che ho aggiornato con delle liste abbastanza esaurienti prese dal web, a seguito dell'aumentare dei messaggi e delle registrazioni spam.
A tal proposito se vi capita di vedere nel vostro messaggio MAPS oppure beep al posto di una vostra parola, segnalatemelo così posso aggiustare il "censuratore".
Provvederò ad eliminare "analisi" dalla lista di parole da censurare.
Quanto al caricamento delle immagini su altervista, che problemi ti da?
ho provato adesso e mi funziona sia con firefox che con Explorer.
Fammi sapere
Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
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I ragionamenti di panurgo sono troppo tecnici per le mie competenze, e troppo belli ed eleganti per essere analizzati con quello spirito critico che sarebbe necessario.
Non sono in grado di capire, quindi, se risulta "dimostrato oltre ragionevole dubbio" che il pentagono è la soluzione migliore per il caso di sei punti (o sei città padane che dir si voglia).
Si tratterebbe di un (raro) caso i cui una deduzione come la mia, fatta su base puramente speculativa, dimostra di reggere anche dopo stringente e approfondito studio...
Non sono in grado di capire, quindi, se risulta "dimostrato oltre ragionevole dubbio" che il pentagono è la soluzione migliore per il caso di sei punti (o sei città padane che dir si voglia).
Si tratterebbe di un (raro) caso i cui una deduzione come la mia, fatta su base puramente speculativa, dimostra di reggere anche dopo stringente e approfondito studio...
Enrico
In realtà, la rilettura era d'obbligo: per $n > 5$, $\zeta$ è minimo quando $n - 1$ cittadine sono sui vertici dell'$n-1$-gono e l'ultima è al centro (o nella regione indifferente).panurgo ha scritto:Si minimizza perciò $\zeta$ disponendo $2p + 1$ cittadine sui vertici di un poligono regolare e l'eventuale $2p + 2$-esima nel centro (o un punto qualunque della regione "indifferente").
Per $n = 2p$ vale la mia dimostrazione:
$D\left (2p - 1\right) l\left (2p\right) \\ \zeta\left (2p - 1\right) \frac 1{\sin{\frac {\pi}{2p}}}\quad \forall p > 2$
P.S.: è vero...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Scusate il mio non-intervento sul problema ma un passaggio tra operatori telefonici mi ha lasciato senza telefono per 5 giorni e senza adsl per un bel po' di più.... (ho avuto modo di apprezzare la tecnologia, nel frattempo!).
Bravo Panurgo! (ma chi può dubitarne?)
Io non mi sono posta il problema di minimizzare il rapporto, mi sono limitata a considerazioni più terra-terra sulla disuguaglianza, tenuto conto del fatto che lavoro con ragazzi del liceo, che quando vedono csi e generalizzazioni mi guardano come se stessi parlando in finlandese....
Allora, escluso il caso in cui le città sono a 3 a 3 collineari (in cui vale comunque la disuguaglianza), ho considerato le possibili configurazioni convesse di 3, 4, 5 e 6 punti. L'idea è di mostrare che è sempre possibile scegliere 3 delle 6 città in modo tale che esse formino un triangolo avente un angolo di almeno 120°, e poi con il Teorema di Carnot (c'è chi lo chiama Teo dei Coseni) dedurre la disuguaglianza.
Triangolo:
Poste 3 città sui vertici di un triangolo, "avanzano" altre 3 città. Chiamo D una di esse e la metto all'interno del triangolo: allora necessariamente in uno dei triangoli ADB, BDC, ADC, avremo che l'angolo in D è di almeno 120°.
Quadrilatero:
Uno dei due punti interni, lo chiamo E, appartiene alla superficie delimitata dai triangoli ABC o ACD, ma allora ritorniamo al caso precedente, perchè se ad esempio E sta in ABC, allora in uno dei triangoli AEB, BEC, AEC avremo che l'angolo in E è di almeno 120°.
Pentagono:
Ho un solo punto, F, interno al pentagono, che necessariamente starà all'interno di uno dei triangoli ABC, ACD, ADE, quindi ritorniamo al primo caso.
Esagono:
In questo caso almeno uno degli angoli interni deve essere di almeno 120°. A questo punto si ritorna al caso triangolare tracciando il triangolo avente un vertice nell'angolo maggiore di 120°.
A questo punto se riusciamo a mostrare che in un triangolo con un angolo interno di almeno 120° il rapporto tra il lato più lungo e quello più corto è almeno $sqrt{3}$ ci siamo.
Disegnino per Carnot:
Nella mia figura ho chiamato $b$ il lato più corto e $a$ quello più lungo, opposto all'angolo$\alpha$ che è di almeno 120°.
Per il Teo di Carnot $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha) \geq b^2+c^2+bc$
Questa disuguaglianza è valida perchè $\cos(\alpha) \leq -0.5$
Bene, posto ora $b\leq c$ (ok x teo dei seni) allora avremo che $a^2 \geq 3b^2$, da cui si ottiene che $\frac{a}{b}\geq \sqrt{3}$
alè
Bravo Panurgo! (ma chi può dubitarne?)
Io non mi sono posta il problema di minimizzare il rapporto, mi sono limitata a considerazioni più terra-terra sulla disuguaglianza, tenuto conto del fatto che lavoro con ragazzi del liceo, che quando vedono csi e generalizzazioni mi guardano come se stessi parlando in finlandese....
Allora, escluso il caso in cui le città sono a 3 a 3 collineari (in cui vale comunque la disuguaglianza), ho considerato le possibili configurazioni convesse di 3, 4, 5 e 6 punti. L'idea è di mostrare che è sempre possibile scegliere 3 delle 6 città in modo tale che esse formino un triangolo avente un angolo di almeno 120°, e poi con il Teorema di Carnot (c'è chi lo chiama Teo dei Coseni) dedurre la disuguaglianza.
Triangolo:
Poste 3 città sui vertici di un triangolo, "avanzano" altre 3 città. Chiamo D una di esse e la metto all'interno del triangolo: allora necessariamente in uno dei triangoli ADB, BDC, ADC, avremo che l'angolo in D è di almeno 120°.
Quadrilatero:
Uno dei due punti interni, lo chiamo E, appartiene alla superficie delimitata dai triangoli ABC o ACD, ma allora ritorniamo al caso precedente, perchè se ad esempio E sta in ABC, allora in uno dei triangoli AEB, BEC, AEC avremo che l'angolo in E è di almeno 120°.
Pentagono:
Ho un solo punto, F, interno al pentagono, che necessariamente starà all'interno di uno dei triangoli ABC, ACD, ADE, quindi ritorniamo al primo caso.
Esagono:
In questo caso almeno uno degli angoli interni deve essere di almeno 120°. A questo punto si ritorna al caso triangolare tracciando il triangolo avente un vertice nell'angolo maggiore di 120°.
A questo punto se riusciamo a mostrare che in un triangolo con un angolo interno di almeno 120° il rapporto tra il lato più lungo e quello più corto è almeno $sqrt{3}$ ci siamo.
Disegnino per Carnot:
Nella mia figura ho chiamato $b$ il lato più corto e $a$ quello più lungo, opposto all'angolo$\alpha$ che è di almeno 120°.
Per il Teo di Carnot $a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\alpha) \geq b^2+c^2+bc$
Questa disuguaglianza è valida perchè $\cos(\alpha) \leq -0.5$
Bene, posto ora $b\leq c$ (ok x teo dei seni) allora avremo che $a^2 \geq 3b^2$, da cui si ottiene che $\frac{a}{b}\geq \sqrt{3}$
alè
mathmum
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... un'applicazione del buon vecchio "principio dei cassetti"!
Ciao
Admin
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Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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www.pvitelli.net
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