Una somma particolare

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Mammolo

Una somma particolare

Messaggio da Mammolo »

Trovare la somma di tutti gli interi positivi n per i quali n^2-19n+99 è un quadrato perfetto.

delfo52
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Messaggio da delfo52 »

19 ?
Enrico

panurgo
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Messaggio da panurgo »

38 ?



P.S.: ? $\equiv$ congettura
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

delfo52
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Messaggio da delfo52 »

1+9+10+18 fa 38
resta da dimostrare che la sequenza
9-11-15-21-29-39-51-65-81-99-119-...
in cui la differenza fra i termini aumenta ad ogni passo di due, non toccherà più altri quadrati
Enrico

panurgo
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Messaggio da panurgo »

in alternativa dimostrare che le uniche soluzioni dell'equanzione diofantea

$n = \frac{{99 - m^2 }}{{19 - 2m}}$

sono solo 1 9 10 18
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Si vuole che:

$n^2 - 19n + 99 = k^2$

1) $n = \frac {19 \mp \sqrt{4k^2 - 35}}{2}$

affinché n sia intero e positivo, è necessario che $\sqrt {4k^2 - 35}$ sia intero e dispari, ma affinché questo sia possibile è necessario che $4k^2 - 35$ almeno sia un quadrato perfetto e cioè che sia:

$4k^2 - 35 = m^2$

2) $k = \frac{\sqrt {m^2 + 35}}{2}$

affinché k sia intero positivo, è necessario che $m^2 + 35$ sia un quadrato perfetto e vediamo che questo è vero per:

m = 1
m = 17

e per valori di m maggiori, se ad $m^2$ aggiungiamo 35, non otteniamo mai un quadrato, poiché dopo i quadrati di 17 e 18, la cui differenza è 35, le differenze fra quadrati successivi sono sempre maggiori di 35.

Dunque, nella 2):

per m = 1, k = 3 e nella 1) $\to$ n = 9; n = 10

per m = 17, k = 9 e nella 1) $\to$ n = 1; n = 18

Conclusione, concordo circa la somma richiesta, ovvero: 9 + 10 + 1 + 18 = 38

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