Signori buongiorno
Sono l'ospite amico di ruler, e per prima cosa mi corre l'obbligo di ringraziarVi per la cortese sollecitudine con la quale mi avete risposto.
Il ragionamento, adesso mi è chiaro, grazie ai vostri interventi.......ma desideravo sapere....se gli oggetti sono 20 e devo disporli a gruppi di dieci.....perchè la formula parte da 29! e non da 21! ?
Il modus operandi, suppongo sia (20+10)-1 fratto (19!) * (10!).
Per cui ottengo circa 20 milioni di posssibili disposizioni.
Nel ringraziarvi nuovamente, mi è gradita l'occasione per porgerVi i saluti
Piero

Dunque,
ti trascrivo da un libro di matematica la piccola dimostrazione della formula:

${n+k-1\choose k}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

per il calcolo delle combinazioni con ripetizione di $n$ oggetti a gruppi di $k$:

indichiamo con $x$ il numero delle combinazioni con ripetizione di $n$ oggetti a gruppi di $k$
consideriamo una generica combinazione di $k$ oggetti (nel tuo caso 10) che indichiamo con $a_1a_2a_3a_4a_5a_6...a_k$;

in questa combinazione vi possono essere anche oggetti ripetuti;

ora da questa, ricaviamo una nuova combinazione che indichiamo con $b_1b_2b_3b_4b_5b_6...b_k$ ponendo

$b_1=a_1+0\\b_2=a_2+1\\b_3=a_3+2\\\,\\...\\\,\\...\\\,\\b_k=a_k+k-1\\$

ovviamente tale combinazione non conterrà oggetti ripetuti dato che sommiamo numeri via via crescenti;

ora, per ognuna delle x combinazioni (tutte diverse) di tipo $a_1a_2a_3a_4a_5a_6...a_k$ ricaviamo una ed un'unica combinazione $b_1b_2b_3b_4b_5b_6...b_k$;
si ha, cioè una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi di combinazioni;
ora gli oggetti iniziali vanno da $a_1$ ad $a_n$, e sono $n$;
invece gli oggetti del nuovo insieme vanno da $b_1$ a $b_n$, ovvero, osservando le uguaglianze, vanno da $a_1$ ad $a_n+k-1$; sono quindi $n+k-1$;
abbiamo detto che le combinazioni $b_1b_2b_3b_4b_5b_6...b_k$ non contengono oggetti ripetuti;
per cui il loro numero ci è dato dalle combinazioni semplici di $n+k-1$ oggetti a gruppi di $k$, ovvero:

${n+k-1\choose k}=\frac{(n+k-1)!}{k!((n+k-1)-k)!}=\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}$

dato che ad ognuna di queste combinazioni $b_1b_2b_3b_4b_5b_6...b_k$ corrisponde una combinazione $a_1a_2a_3a_4a_5a_6...a_k$ si ha che:

il numero di combinazioni semplici di $n+k-1$ oggetti a gruppi di $k$ è uguale al numero di combinazioni con ripetizione di $n$ oggetti a gruppi di $k$.

In ogni caso la formula è quella, ti puoi fidare.

Comunque, ancora non hai detto se ti interessano le disposizioni o le combinazioni.
Facci sapere!

Ciao
Admin

X Admin
mi interessano solo le combinazioni ottenibili.
Grazie Piero
A tutti buona giornata e saluti