Per tutti i gusti

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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leandro
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Per tutti i gusti

Messaggio da leandro »

1)Dimostrare che se 2006 divide $a^4+b^4$ ed anche $a^5+b^5$
allora esso divide pure $a^{13}+b^{13}$

2)Dimostrare che il numero:

$\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}$ e' razionale.

3)La funzione f(x) e' definita in R-{1/3}.Sapendo che risulta:

$3f(x)+5f(\frac{x+2}{3x-1})=4$

calcolare $f(\frac{5}{8})$.

Leandro

jepa
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Messaggio da jepa »

Provo la seconda:
Si deve dimostrare che

$\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}=\frac{p}{q}$
dove p e q sono numeri interi.
mettendo entrambi i termini al cubo si ha:

$\sqrt5+2-\sqrt5+2-3\sqrt[3]{(sqrt5+2)(sqrt5+2)](sqrt5-2)}+3\sqrt[3]{(sqrt5+2)(sqrt5-2)](sqrt5-2)}=\frac{p^3}{q^3}$
da cui
$4-3\sqrt[3]{(sqrt5+2)(sqrt5-2)}(\sqrt[3]{(sqrt5+2)}-\sqrt[3]{(sqrt5-2)})=\frac{p^3}{q^3}$
e
$4-3\sqrt[3]{1}(\sqrt[3]{(sqrt5+2)}-\sqrt[3]{(sqrt5-2)})=\frac{p^3}{q^3}$
Si ottiene:

$4-3\frac{p}{q}=\frac{p^3}{q^3}$

La quale ha soluzione per p/q = 1 da cui p=q interi.
Se la soluzione è sbagliata almeno ho imparato a scrivere le equazioni e a qualcosa è servito.
Saluti a tutti.

jepa
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Messaggio da jepa »

Cioè, partendo dal voler dimostrare che esistevano p e q interi tali da soddisfare l'epressione, ho trovato che p/q=1 che è la soluzione numerica dell'espressione, e 1 è chiaramente un numero razionale.[/code][/tex]

jepa
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Messaggio da jepa »

Nel primo post, per la fretta, alla fine ho scritto p=q interi, che è chiaramente un errore di cui mi sono accorto ora. Vi prego di non tenerne conto.
Saluti.

mathmum
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Messaggio da mathmum »

Gusto n°3:

Prima di tutto cerco a quale valore di x corrisponde 5/8.
pongo quindi $\frac{x+2}{3x-1}=\frac{5}{8}$, che risolto mi dà $x=3$.

Sostituisco il valora trovato per la x nell'equazione assegnata, ed ottengo
$3f(\frac{5}{8})+5f(\frac{5}{8})=4$
$8f(\frac{5}{8})=4$
$f(\frac{5}{8})=\frac{1}{2}$

ciao!
mathmum

...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Provo il gusto rimasto...

Poiché $\small \, 13=9+4 \,$ e $\small \, 9-4=5 \,$, considero il seguente prodotto:

$(a^9+b^9)\cdot (a^4+b^4) = a^{13}+b^{13}+a^4\cdot b^4\cdot (a^5+b^5).$

Dunque, se $\, a^4+b^4 \,$ e $\, a^5+b^5 \,$ sono divisibili per uno stesso numero, anche $\, a^{13}+b^{13}$
deve esserlo.

(Bruno)
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

leandro
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Messaggio da leandro »

Belle soluzioni!
In particolare trovo parecchio originale quella di mathmum.
A presto e saluti.
Leandro.

prontoadimparare
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Messaggio da prontoadimparare »

...e io non riesco a capire proprio quella di Mathmum. C'è qualche anima buona che ha voglia di spiegarmela? :oops:

Saluti
il vostro Pai
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leandro
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Messaggio da leandro »

Si puo' fare cosi'.
Ponendo nella relazione data x=5/8 si ha:
a) 3f(5/8)+5f(3)=4
Vediamo ora per quale valore di x si ha (x+2)/(3x-1)=5/8 e cio' avviene per x=3.
Per x=3, quindi,la f(x) assume lo stesso valore che per x=5/8 : f(3)=f(5/8)
e sostituendo nella (a) avremo
8f(5/8)=4 da cui appunto f(5/8)=1/2
Leandro

prontoadimparare
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Messaggio da prontoadimparare »

Grazie mille Leandro! Ora è tutto chiaro, non riuscivo a scorgere l'equivalenza tra f(3) e f(5/8). Grazie ancora.

Saluti
Pai
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lamath

Messaggio da lamath »

x leandro: soluzioni alternative al gusto 3?
al momento non ne vedo!

ah, sono la mathmum non loggata!

ciao!

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