Per tutti i gusti
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Per tutti i gusti
1)Dimostrare che se 2006 divide $a^4+b^4$ ed anche $a^5+b^5$
allora esso divide pure $a^{13}+b^{13}$
2)Dimostrare che il numero:
$\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}$ e' razionale.
3)La funzione f(x) e' definita in R-{1/3}.Sapendo che risulta:
$3f(x)+5f(\frac{x+2}{3x-1})=4$
calcolare $f(\frac{5}{8})$.
Leandro
allora esso divide pure $a^{13}+b^{13}$
2)Dimostrare che il numero:
$\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}$ e' razionale.
3)La funzione f(x) e' definita in R-{1/3}.Sapendo che risulta:
$3f(x)+5f(\frac{x+2}{3x-1})=4$
calcolare $f(\frac{5}{8})$.
Leandro
Provo la seconda:
Si deve dimostrare che
$\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}=\frac{p}{q}$
dove p e q sono numeri interi.
mettendo entrambi i termini al cubo si ha:
$\sqrt5+2-\sqrt5+2-3\sqrt[3]{(sqrt5+2)(sqrt5+2)](sqrt5-2)}+3\sqrt[3]{(sqrt5+2)(sqrt5-2)](sqrt5-2)}=\frac{p^3}{q^3}$
da cui
$4-3\sqrt[3]{(sqrt5+2)(sqrt5-2)}(\sqrt[3]{(sqrt5+2)}-\sqrt[3]{(sqrt5-2)})=\frac{p^3}{q^3}$
e
$4-3\sqrt[3]{1}(\sqrt[3]{(sqrt5+2)}-\sqrt[3]{(sqrt5-2)})=\frac{p^3}{q^3}$
Si ottiene:
$4-3\frac{p}{q}=\frac{p^3}{q^3}$
La quale ha soluzione per p/q = 1 da cui p=q interi.
Se la soluzione è sbagliata almeno ho imparato a scrivere le equazioni e a qualcosa è servito.
Saluti a tutti.
Si deve dimostrare che
$\sqrt[3]{\sqrt5+2}-\sqrt[3]{\sqrt5-2}=\frac{p}{q}$
dove p e q sono numeri interi.
mettendo entrambi i termini al cubo si ha:
$\sqrt5+2-\sqrt5+2-3\sqrt[3]{(sqrt5+2)(sqrt5+2)](sqrt5-2)}+3\sqrt[3]{(sqrt5+2)(sqrt5-2)](sqrt5-2)}=\frac{p^3}{q^3}$
da cui
$4-3\sqrt[3]{(sqrt5+2)(sqrt5-2)}(\sqrt[3]{(sqrt5+2)}-\sqrt[3]{(sqrt5-2)})=\frac{p^3}{q^3}$
e
$4-3\sqrt[3]{1}(\sqrt[3]{(sqrt5+2)}-\sqrt[3]{(sqrt5-2)})=\frac{p^3}{q^3}$
Si ottiene:
$4-3\frac{p}{q}=\frac{p^3}{q^3}$
La quale ha soluzione per p/q = 1 da cui p=q interi.
Se la soluzione è sbagliata almeno ho imparato a scrivere le equazioni e a qualcosa è servito.
Saluti a tutti.
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- Livello 5
- Messaggi: 337
- Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:39 pm
- Località: World (Wide Web) - IT
Gusto n°3:
Prima di tutto cerco a quale valore di x corrisponde 5/8.
pongo quindi $\frac{x+2}{3x-1}=\frac{5}{8}$, che risolto mi dà $x=3$.
Sostituisco il valora trovato per la x nell'equazione assegnata, ed ottengo
$3f(\frac{5}{8})+5f(\frac{5}{8})=4$
$8f(\frac{5}{8})=4$
$f(\frac{5}{8})=\frac{1}{2}$
ciao!
Prima di tutto cerco a quale valore di x corrisponde 5/8.
pongo quindi $\frac{x+2}{3x-1}=\frac{5}{8}$, che risolto mi dà $x=3$.
Sostituisco il valora trovato per la x nell'equazione assegnata, ed ottengo
$3f(\frac{5}{8})+5f(\frac{5}{8})=4$
$8f(\frac{5}{8})=4$
$f(\frac{5}{8})=\frac{1}{2}$
ciao!
mathmum
...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...
...la vita è complessa: ha componenti reali ed immaginarie...
...
Provo il gusto rimasto...
Poiché $\small \, 13=9+4 \,$ e $\small \, 9-4=5 \,$, considero il seguente prodotto:
$(a^9+b^9)\cdot (a^4+b^4) = a^{13}+b^{13}+a^4\cdot b^4\cdot (a^5+b^5).$
Dunque, se $\, a^4+b^4 \,$ e $\, a^5+b^5 \,$ sono divisibili per uno stesso numero, anche $\, a^{13}+b^{13}$
deve esserlo.
(Bruno)
Provo il gusto rimasto...
Poiché $\small \, 13=9+4 \,$ e $\small \, 9-4=5 \,$, considero il seguente prodotto:
$(a^9+b^9)\cdot (a^4+b^4) = a^{13}+b^{13}+a^4\cdot b^4\cdot (a^5+b^5).$
Dunque, se $\, a^4+b^4 \,$ e $\, a^5+b^5 \,$ sono divisibili per uno stesso numero, anche $\, a^{13}+b^{13}$
deve esserlo.
(Bruno)
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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{Rudi Mathematici}
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- Livello 2
- Messaggi: 46
- Iscritto il: gio mag 26, 2005 8:13 pm
- Località: Roma
...e io non riesco a capire proprio quella di Mathmum. C'è qualche anima buona che ha voglia di spiegarmela?
Saluti
il vostro Pai
Saluti
il vostro Pai
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Si puo' fare cosi'.
Ponendo nella relazione data x=5/8 si ha:
a) 3f(5/8)+5f(3)=4
Vediamo ora per quale valore di x si ha (x+2)/(3x-1)=5/8 e cio' avviene per x=3.
Per x=3, quindi,la f(x) assume lo stesso valore che per x=5/8 : f(3)=f(5/8)
e sostituendo nella (a) avremo
8f(5/8)=4 da cui appunto f(5/8)=1/2
Leandro
Ponendo nella relazione data x=5/8 si ha:
a) 3f(5/8)+5f(3)=4
Vediamo ora per quale valore di x si ha (x+2)/(3x-1)=5/8 e cio' avviene per x=3.
Per x=3, quindi,la f(x) assume lo stesso valore che per x=5/8 : f(3)=f(5/8)
e sostituendo nella (a) avremo
8f(5/8)=4 da cui appunto f(5/8)=1/2
Leandro
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- Livello 2
- Messaggi: 46
- Iscritto il: gio mag 26, 2005 8:13 pm
- Località: Roma
Grazie mille Leandro! Ora è tutto chiaro, non riuscivo a scorgere l'equivalenza tra f(3) e f(5/8). Grazie ancora.
Saluti
Pai
Saluti
Pai
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