La conta dei razionali

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Edmund
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Messaggio da Edmund »

Ciao Bruno,
ti ringrazio per aver notato il mio errore, evidentemente quella formula mi è venuta troppo di botto. Il caso ha voluto che quelle poche verifiche che ho fatto risultassero giuste.

Comunque la formula non va toccata, il problema è ancora prima di applicarla;

data la frazione (non la chiamo più a/b) num/den bisogna stabilire cosa è a e cosa è b, applico quindi la seguente:

$\left(\frac{num}{den}\right)^{(-1)}^{(num+den)}=\frac{a}{b}$

con a e b i nuovi numeratore e denominatore da sostituire nella formula di prima.


Riguardo all'esempio in precedenza da me riportato hai pienemante ragione, le frazioni non vanno semplificate.

Edmund

Edmund
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Messaggio da Edmund »

per farmi perdonare posto un semplicissimo programmino per trovare n in corrispondenza di una frazione.



INPUT PROMPT " Inserire il valore del numeratore : ":nu
INPUT PROMPT " Inserire il valore del denominatore: ":de
PRINT
PRINT "__________________________________________"
PRINT

LET e=nu+de

IF (-1)^(nu+de)=1 THEN
LET b=nu
LET a=de
LET n=((a+b)^2-3*a-b+2)/2
PRINT nu;"\";de;" ----> ";n
ELSEIF (-1)^(nu+de)=-1 THEN
LET a=nu
LET b=de
LET n=((a+b)^2-3*a-b+2)/2
PRINT nu;"\";de;" ----> ";n
END IF

END



Ciao

Bruno
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Messaggio da Bruno »

Edmund ha scritto:Ciao Bruno,
ti ringrazio per aver notato il mio errore, evidentemente quella formula mi è venuta troppo di botto. Il caso ha voluto che quelle poche verifiche che ho fatto risultassero giuste.

Comunque la formula non va toccata, il problema è ancora prima di applicarla;

data la frazione (non la chiamo più a/b) num/den bisogna stabilire cosa è a e cosa è b, applico quindi la seguente:

$\left(\frac{num}{den}\right)^{(-1)}^{(num+den)}=\frac{a}{b}$

con a e b i nuovi numeratore e denominatore da sostituire nella formula di prima.


Riguardo all'esempio in precedenza da me riportato hai pienemante ragione, le frazioni non vanno semplificate.

Edmund
Buongiorno, Edmund :D
Eccomi ancora qui con te.

Ok, ma solo in parte, per le tue puntuali precisazioni.
Perché in parte? Perché ancora manca qualcosa.
Applico la tua nuova formula alla frazione $\small \,\frac{3}{4}\,$ :

$\(\frac{3}{4}\)^{(-1)^{(3+4)}} = \frac{4}{3} = \frac{a}{b}$

e poi passo a:

$\frac{(3+4)^2-3*(4)-(3)+2}{2} = 18$

ma la 18ª frazione è $\small \,\frac{4}{3}\,$, l'abbiamo già visto, e non $\small \,\frac{3}{4}\,$.

Senza ricorrere a una vera e propria dimostrazione
delle proprietà proposte e limitandosi ad accettare qualche
prova fatta, è facile che succeda questo.

Ti aspetto :wink:

Bruno

PS > Non devi affatto farti perdonare, Edmund: dagli errori
impariamo tutti qualcosa.
(Bruno)

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Edmund
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Messaggio da Edmund »

Questa volta il mio è stato un errore di trascrizione, infatti se hai modo di provare il programmino in decimal basic (puoi scaricarlo dallla home page di base5) vedrai che a 4/3 corrisponde il numero 19 e non 18.


In definitiva, per stabilire a e b trovo ilvalore dell'esponente

(-1)^(num+den)

se risulta uguale a 1 abbiamo a=den, b=num
se risulta uguale a -1 abbiamo a=num, b=den

per cui

$(num/den)^{-{(-1)}^{(num+den)}}$


Tengo a precisare inoltre che le formule trovate non me le sono sognate (non ho il dono di Kekulè) ma sono frutto di ragionamento e calcoli, purtroppo la fretta mi ha indotto ad incorrerrere nell'errore da te rilevato, ma, se mi è consentito dirlo, penso che gli errori siano il "sale" del forum.


Con stima, Edmund.

Bruno
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Messaggio da Bruno »

Edmund ha scritto:Questa volta il mio è stato un errore di trascrizione, infatti se hai modo di provare il programmino in decimal basic (puoi scaricarlo dallla home page di base5) vedrai che a 4/3 corrisponde il numero 19 e non 18.


In definitiva, per stabilire a e b trovo ilvalore dell'esponente

(-1)^(num+den)

se risulta uguale a 1 abbiamo a=den, b=num
se risulta uguale a -1 abbiamo a=num, b=den

per cui

$(num/den)^{-{(-1)}^{(num+den)}}$


Tengo a precisare inoltre che le formule trovate non me le sono sognate (non ho il dono di Kekulè) ma sono frutto di ragionamento e calcoli, purtroppo la fretta mi ha indotto ad incorrerrere nell'errore da te rilevato, ma, se mi è consentito dirlo, penso che gli errori siano il "sale" del forum.


Con stima, Edmund.
Edmund, mi dispiace che tu te ne sia un po' risentito.
Normalmente sono molto rispettoso e attento a non urtare la sensibilità altrui
(o almeno sono sempre in buona fede, i miei messaggi te lo possono dimostrare)
e comunque ho sempre molto apprezzato i tuoi interventi.
Tra l'altro, il mio ultimo PS anticipa e conferma la tua frase finale :wink:
Non ho la possibilità di utilizzare il tuo programma e mi devo quindi basare
su ciò che leggo. D'altra parte, non ho mai dubitato dei tuoi studi (perché pensi
il contrario?), ma bisogna pur dire ciò che non va: sei d'accordo?
Cosa ne diresti se scrivessimo la tua formula così:

$\(\frac{num}{den}\)^{(-1)^{(num+den-1)} \;$?

Tento una dimostrazione del tuo risultato, Edmund, richiamando quanto da te
indicato nei tuoi precedenti post.
Edmund ha scritto: (...) $\displaystyle \(\frac{T_s-n+1}{n-T_i}\)^{{(-1)}^{(T_s-T_i)}$
Sapendo che:
Ts = ½r(r+1) >/= n > Ti = ½(r-1)r
e che:
Ts-Ti =r,
abbiamo due possibilità:
- se r è dispari, allora: num = n-½(r-1)r, den = ½r(r+1)-n+1;
- se r è pari, allora: num = ½r(r+1)-n+1, den = n-½(r-1)r.
In ogni caso, è: num+den-1 = r (= a+b-1).
Abbiamo detto che: n = ½[(a+b)²-3a-b+2], cioè: 2n = (a+b-1)(a+b)-2(a-1).
Quindi, sia per r dispari (a=den) che per r pari (a=num), a-1=½r(r+1)-n
e si ha sempre:
2n = r(r+1)-2[½r(r+1)-n] = r(r+1)-r(r+1)+2n = 2n

(Se&o)

Bruno
Ultima modifica di Bruno il ven apr 21, 2006 12:40 pm, modificato 5 volte in totale.
(Bruno)

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Edmund
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Messaggio da Edmund »

Ciao Bruno,

non sono assolutamente risentito semmai mi sento onorato dell'attenzione che tu ed altri date ai miei interventi (pochi), la mia era solamente una battuta.
Comunque mi ritengo colpevole di superficialità nel postare i miei interventi,
devo sicuramente stare più attento a ciò che dico, ma l'importante è riuscire a correggersi.

La tua dimostrazione a prima vista sembra uguale alla mia, dammi e tempo per controllare.

Edmund.

Bruno
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Messaggio da Bruno »

Edmund ha scritto:(...) l'importante è riuscire a correggersi
...yesss :wink:
(Bruno)

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Gianfranco
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Messaggio da Gianfranco »

Questo mi è veramente piaciuto.
Grazie a Bruno per il problema e le precisazioni e complimenti a Edmund per le soluzione e a Pasquale per lo spirito.

Per risolverlo ho immaginato una lepre che salta nel piano cartesiano...

Vi invio due bottarelle anch'io.
Che cosa sono?

Ciao e ancora grazie!
Allegati
Bottarella 1: che cos'é
Bottarella 1: che cos'é
Cantor1.gif (4.14 KiB) Visto 10138 volte

Gianfranco
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Messaggio da Gianfranco »

E questa cos'é?
Allegati
Bottarella 2: che cos'é?
Bottarella 2: che cos'é?
Cantor2.gif (7.61 KiB) Visto 10136 volte

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Grazie a te, Gianfranco :D
Purtroppo, ho appena il tempo di toccare i tasti per pochi minuti,
dovendo partire per alcuni giorni, ma sto guardando quello che
hai postato come... come una lepre bloccata davanti ai fari di una
macchina!
Cos'è, cos'è?
Alla prossima settimana :wink:
(Bruno)

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0-§
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Messaggio da 0-§ »

Gianfranco,non me l'hai fatta!Anch'io a suo tempo studiai il problema proposto da Bruno(naturalmente senza cavarci un ragno dal buco,ragion per cui ho deciso di non postarlo,anche perché non era farina del mio sacco e anche perché mi sono dimenticato di proporlo,accidenti a me!Grazie Bruno per averlo postato,perché é proprio un bel problemino) e mi interessai soprattutto a quanti numeri,nello schema di Cantor,sono "inutili".Cioé,come é capitato ad Edmund,nella tabella troviamo 3/2,ma anche 6/4 e 12/8 e infinite altre frazioni pari a tre mezzi o a qualsiasi altra frazione ridotta ai minimi termini.Ho quindi approntato uno "schemone"(non di quelli,nefasti, che dovrebbero far vincere all'Enalotto...chiamiamolo "schemetto" e tagliamo la testa al toro) contenente le varie frazioni(su foglio a quadretti,ovviamente una per quadretto) e ho poi annerito tutti i quadratini che contenevano una frazione già presente nello schema ridotta ai minimi termini.Risultato?Lo stesso "schemetto" che ha ottenuto Gianfranco,ma con il bianco ed il nero invertiti.Voilà!
Per quanto riguarda la seconda "bottarella",c'azzeccheranno(citando Di Pietro),suppongo, i metodi rapidi che possiamo trovare per annerire in fretta le frazioni "inutili" senza dover verificare la semplificabilità di ogni frazione(entro breve vi posto quei metodi che ho trovato io,datemi il tempo di raccogliere le idee)...a domani per gli sviluppi,per stasera buonanotte e sogni d'oro.
Questo caldo mi impedisce di lavorare...forse mi ci vorrebbe un po' di caffé da trasformare in teoremi,perché per ora sto solo trasformando il lauto pasto che mi sono concesso in un mucchio di sciocchezze...
GioMott
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

prontoadimparare
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Messaggio da prontoadimparare »

Zerinf, bello rileggerti, ricordati del MP.

Saluti da
Pai
Partecipa anche tu a Wikipedia!

Gianfranco
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Messaggio da Gianfranco »

OK GioMott, indovinato!

Nella seconda figura, i diversi colori sono associati ai diversi MCD(num,den) delle frazioni.

La prima immagine è ottenuta con un programma Decimal Basic veramente corto.

---
FUNCTION mcd(a,b)
IF b=0 THEN
LET mcd=a
ELSE
LET mcd=mcd(b,MOD(a,b))
END IF
END FUNCTION

LET d=32
LET l=0.75
SET WINDOW 0, d, 0, d

SET AREA COLOR 1
FOR x = 1 TO d-1
FOR y = 1 TO d-1
IF mcd(x,y) = 1 THEN PLOT AREA : x,d-y-l; x+l,d-y-l; x+l,d-y; x,d-y
NEXT y
NEXT x
END
---

Il programma è così corto perché ogni frazione x/y della matrice di Cantor può essere facilmente e biunivocamente associata al punto (x;y) a coordinate intere del piano cartesiano.
Nella figura qui sotto ho semplicemente aggiunto gli assi all'immagine iniziale inviata da Bruno.

A proposito... dov'è lo zero in questa matrice???

Buon 25 aprile!
Buon 1 maggio!
A tutti.

Gianfranco Bo
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La griglia di Cantor in coordinate cartesiane
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spirale_euclidea
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Messaggio da spirale_euclidea »

scusate il disturbo, Edmund & Bruno.

perché a me non tornano i conti per il 121esimo elemento? o per il 122esimo?

probabilmente ho commesso qualche errore, ma ottengo 16/0 nel primo caso e 17/-1 nel secondo!

Possibile?

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Nessunissimo disturbo, Spirale_euclidea, anzi... grazie per averci letto :D
Per applicare la formula indicata da Edmund, dobbiamo rintracciare due numeri
triangolari: uno non minore del numero d'ordine della frazione cercata, l'altro
minore. Sia 122 che 121 sono entrambi compresi fra due numeri triangolari:
Ts = 136 = ½16·17 e Ti = 120 = ½15·16 (li puoi trovare con il metodo indicato
da Edmund).
Dunque, poiché $\small (-1)^{(T_s-T_i)} = (-1)^{16} = 1$, abbiamo direttamente (senza cioè
dover invertire la frazione):

$\frac{Ts-121+1}{121-Ti} = \frac{16}{1} \\ \frac{Ts-122+1}{122-Ti} = \frac{15}{2}.$

Detto $\small n$ il numero d'ordine della frazione, va sottolineato che dev'essere
$\small n \le Ts$, per ottenere un numeratore positivo, mentre dobbiamo prendere
unicamente $\small Ti < n$ affinché anche il denominatore sia positivo (questo
quando lo stesso $\small n$ sia un numero triangolare).
Ti torna tutto, adesso?

Hai scelto proprio un bel nome :wink:
(Bruno)

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