Suddivisione in fattori
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Suddivisione in fattori
E' possibile suddividere in fattori un binomio tipo $4x^8 + 1$ ?
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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$4x^8 + 1$
è equivalente a $4x^8 + 1 + 4x^4 - 4x^4$
da cui, raccogliendo
$(2x^4+1)^2 - 4x^4$
$(2x^4+1)^2 - (2x^2)^2$ che è una differenza di quadrati
da cui
$(2x^4 + 2x^2 + 1)(2x^4 - 2x^2 + 1)$
SE & O
Saluti da
prontoadimparare
è equivalente a $4x^8 + 1 + 4x^4 - 4x^4$
da cui, raccogliendo
$(2x^4+1)^2 - 4x^4$
$(2x^4+1)^2 - (2x^2)^2$ che è una differenza di quadrati
da cui
$(2x^4 + 2x^2 + 1)(2x^4 - 2x^2 + 1)$
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Saluti da
prontoadimparare
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Ottimo Pai!
introducendo i complessi si ha:
$4x^8+1=$
$\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\\\cdot\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}\right)$
Admin
introducendo i complessi si ha:
$4x^8+1=$
$\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\\\cdot\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}\right)\cdot\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac12+\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac12-\frac{\sqrt2}{4}}\right)$
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
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...
Ciao, Pietro!
Ho appena visto il tuo post e (così, con una semplice occhiata) non
sono riuscito a capire come hai ricavato quell'imponente prodotto...
wow
Forse hai utilizzato il risultato di Prontoadimparare?
Rifletterò un po' meglio, ma intanto vedo che $\small \; 4x^8+1 = (2x^4)^2+1^2$
e questo mi dice che il binomio di Pasquale, seguendo il tuo esempio,
si possa anche scrivere direttamente in questo modo:
$\small 4x^8+1 = (2x^4-i)(2x^4+i)$.
Molto diretta ed efficace la scomposizione di Prontoadimparare
Ciao, Pietro!
Ho appena visto il tuo post e (così, con una semplice occhiata) non
sono riuscito a capire come hai ricavato quell'imponente prodotto...
wow
Forse hai utilizzato il risultato di Prontoadimparare?
Rifletterò un po' meglio, ma intanto vedo che $\small \; 4x^8+1 = (2x^4)^2+1^2$
e questo mi dice che il binomio di Pasquale, seguendo il tuo esempio,
si possa anche scrivere direttamente in questo modo:
$\small 4x^8+1 = (2x^4-i)(2x^4+i)$.
Molto diretta ed efficace la scomposizione di Prontoadimparare
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
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{Biagio Marin}
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{Rudi Mathematici}
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Intanto ringrazio sia Pietro che Bruno per l'incoraggiamento. Per il resto, mi piacerebbe sapere come Pietro sia arrivato a quel risultato. Complessi...brrr... già il nome... Sono davvero curioso.
Arguta la scomposizione di Bruno, basata sul fatto che $i=sqrt{-1}$.
Saluti dal vostro affezionato
Pai
Arguta la scomposizione di Bruno, basata sul fatto che $i=sqrt{-1}$.
Saluti dal vostro affezionato
Pai
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Parto dalla scomposizione di Pai:
$(2x^4 + 2x^2 + 1)(2x^4 - 2x^2 + 1)$
Analizziamo il fattore $2x^4 + 2x^2 + 1$:
ponendo $t=\sqrt2x^2$ si ottiene:
$t^2 + \frac{2}{\sqrt2}t + 1\quad\Rightarrow\quad t^2 + \sqrt2t + 1$
le cui soluzioni sono:
$t=\frac{-\sqrt2\pm i\sqrt2}{2}$
quindi fattorizzando abbiamo:
$t^2 + \sqrt2t + 1=\left(t-\frac{-\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)\left(t-\frac{-\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad \left(t+\frac{\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)\left(t+\frac{\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)$
e risostituendo x:
$\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)$
Scomponiamo ora questi 2 "sottofattori":
1) Fattore $\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)$; si ha:
$\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt2x^2-\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}\right)$
applicando la fattorizzazione $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ si ottiene
$\left(\sqrt2x^2-\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)$
ora il valore $\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}$ è un radicale doppio; esso vale:
$\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}=\sqrt{\frac{-\sqrt2+\sqrt{-2}}{2}}=\frac{\sqrt{-\sqrt2+\sqrt{-2}}}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{2}}+\sqrt{\frac{-\sqrt2-2}{2}}}{\sqrt2}$
Si nota che il 2° radicale al numeratore ha radicando sicuramente negativo; per cui possiamo "portare fuori" il segno meno utilizzando $i$; si ha:
$\frac{\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt2+2}{2}}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{4}}+i\sqrt{\frac{\sqrt2+2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}}$
2) Fattore $\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)$; si ha:
$\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt2x^2-\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}\right)$
applicando la fattorizzazione $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ si ottiene
$\left(\sqrt2x^2-\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)$
ora il valore $\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}$ è un radicale doppio; esso vale:
$\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}=\sqrt{\frac{-\sqrt2-\sqrt{-2}}{2}}=\frac{\sqrt{-\sqrt2-\sqrt{-2}}}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{2}}-\sqrt{\frac{-\sqrt2-2}{2}}}{\sqrt2}$
Si nota che il 2° radicale al numeratore ha radicando sicuramente negativo; per cui possiamo "portare fuori" il segno meno utilizzando $i$; si ha:
$\frac{\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt2+2}{2}}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{4}}-i\sqrt{\frac{\sqrt2+2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}}$
quindi ricapitolando, il fattore $2x^4+2x^2+1$ è pari a:
$2x^4+2x^2+1=\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right) \left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right) =\\\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}} \right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}} \right) \left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}} \right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}} \right)$
Per l'altro fattore il procedimento è analogo.
Spero non ci siano errori.
Ciao
Admin
$(2x^4 + 2x^2 + 1)(2x^4 - 2x^2 + 1)$
Analizziamo il fattore $2x^4 + 2x^2 + 1$:
ponendo $t=\sqrt2x^2$ si ottiene:
$t^2 + \frac{2}{\sqrt2}t + 1\quad\Rightarrow\quad t^2 + \sqrt2t + 1$
le cui soluzioni sono:
$t=\frac{-\sqrt2\pm i\sqrt2}{2}$
quindi fattorizzando abbiamo:
$t^2 + \sqrt2t + 1=\left(t-\frac{-\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)\left(t-\frac{-\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)\quad\Rightarrow\quad \left(t+\frac{\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)\left(t+\frac{\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)$
e risostituendo x:
$\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)$
Scomponiamo ora questi 2 "sottofattori":
1) Fattore $\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)$; si ha:
$\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2- i\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt2x^2-\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}\right)$
applicando la fattorizzazione $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ si ottiene
$\left(\sqrt2x^2-\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)$
ora il valore $\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}$ è un radicale doppio; esso vale:
$\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}=\sqrt{\frac{-\sqrt2+\sqrt{-2}}{2}}=\frac{\sqrt{-\sqrt2+\sqrt{-2}}}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{2}}+\sqrt{\frac{-\sqrt2-2}{2}}}{\sqrt2}$
Si nota che il 2° radicale al numeratore ha radicando sicuramente negativo; per cui possiamo "portare fuori" il segno meno utilizzando $i$; si ha:
$\frac{\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{2}}+i\sqrt{\frac{\sqrt2+2}{2}}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{4}}+i\sqrt{\frac{\sqrt2+2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}}$
2) Fattore $\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)$; si ha:
$\left(\sqrt2x^2+\frac{\sqrt2+ i\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt2x^2-\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}\right)$
applicando la fattorizzazione $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ si ottiene
$\left(\sqrt2x^2-\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}\right)=\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)$
ora il valore $\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}$ è un radicale doppio; esso vale:
$\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}=\sqrt{\frac{-\sqrt2-\sqrt{-2}}{2}}=\frac{\sqrt{-\sqrt2-\sqrt{-2}}}{\sqrt2}=\frac{\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{2}}-\sqrt{\frac{-\sqrt2-2}{2}}}{\sqrt2}$
Si nota che il 2° radicale al numeratore ha radicando sicuramente negativo; per cui possiamo "portare fuori" il segno meno utilizzando $i$; si ha:
$\frac{\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{2}}-i\sqrt{\frac{\sqrt2+2}{2}}}{\sqrt2}=\sqrt{\frac{-\sqrt2+2}{4}}-i\sqrt{\frac{\sqrt2+2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}}$
quindi ricapitolando, il fattore $2x^4+2x^2+1$ è pari a:
$2x^4+2x^2+1=\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right) \left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{-i\sqrt2-\sqrt2}{2}}\right) =\\\left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}} \right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}} \right) \left(\sqrt[4]{2}x-\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}+i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}} \right)\left(\sqrt[4]{2}x+\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt2}{4}}-i\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt2}{4}} \right)$
Per l'altro fattore il procedimento è analogo.
Spero non ci siano errori.
Ciao
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Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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Wow, Pietro, che opera colossale! Comunque ti sei fatto capire egregiamente.
Che bello imparare cose nuove...
Pai
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Pai
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