Tre cubi in Cinquecento

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Tre cubi in Cinquecento

Messaggio da Bruno »

...

Cercare le soluzioni intere della seguente equazione: $\; x^3+y^3+z^3 = 500 \,$.

Di seguito riporto un piiii...ccolo suggerimento: si possono considerare i resti dei cubi rispetto a 9 :wink:
(Bruno)

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l'ha apena sfioragia
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Daniela
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Messaggio da Daniela »

Naturali mi pare che non ce ne siano, dando un'occhiata ai candidati

0 --> 0
1---> 1
2 --> 8
3 ---> 27
4 --> 64
5 ---> 125
6 --> 216
7 --> 343

si potrebbe controllarlo lavorando in mod 9 come da tuo suggerimento anziche andare a prendermi il caffe' delle 7.40 :D
Daniela
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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

.....nemmeno reali, mi pare.
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:.....nemmeno reali, mi pare.
...questa relazione ha senz'altro delle soluzioni reali, Pasquale, infinitissime :wink:
(Bruno)

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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Casp.. mi sono sfuggite: sempre intere?
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prontoadimparare
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Messaggio da prontoadimparare »

Bruno, potresti spiegarmi quella cosa dei resti rispetto a 9? Non ho ben capito. Inoltre, vorrei chiedere, esiste un algoritmo generale per risolvere un'equazione del genere oppure si va per tentativi?

In ogni caso grazie
Pai
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

Prontoadimparare ha scritto:Bruno, potresti spiegarmi quella cosa dei resti rispetto a 9?
Ho trovato questo problema con l'annesso suggerimento e l'ho riportato
fedelmente.
Sinceramente, Prontoadimparare, devo dirti che ho tentato di risolverlo
senza tener conto del suggerimento, ma finora non ho incontrato delle
strade interessanti o abbastanza brevi.
Cercherò di spiegarmi senza ricorrere alle congruenze, perché penso che,
così, la descrizione del concetto sia per tutti più avvicinabile.
Riscrivo intanto l'equazione:

1) $\; x^3+y^3+z^3 = 500$

Ogni numero intero, diviso per 9, dà un resto che può variare da 0 (quando
il numero è un multiplo esatto di 9) a 8. Quindi possiamo dire che, dividendo
un numero intero per 9 (un numero qualsiasi, non ci interessa sapere quale),
si hanno i casi seguenti:

$\{9h+0 \\ 9h+1 \\ 9h+2 \\ 9h+3 \\ 9h+4 \\ 9h+5 \\ 9h+6 \\ 9h+7 \\ 9h+8$

per un certo $h$ intero.
Poiché però:

$5=9-4 \\ 6=9-3 \\ 7=9-2 \\ 8=9-1$

possiamo anche scrivere:

$\{9h+0 \\ 9h+1 \\ 9h+2 \\ 9h+3 \\ 9h+4 \\ 9h-4 \\ 9h-3 \\ 9h-2 \\ 9h-1$

ossia, in maniera più concisa:

2) $\; \{9h+0 \\ 9h \pm 1 \\ 9h \pm 2 \\ 9h \pm 3 \\ 9h \pm 4$.

Facciamo qualche esempio:

$-112 = 9\cdot (-12)-4 \\ 327 = 9\cdot (36)+3 \\ 74 = 9\cdot (8)+2$

e così via.
Giunti qui, osserviamo che il cubo di un numero del tipo $\small \, 9h\pm r \,$ può
essere messo in questa forma: $\small \, (9h\pm r)^3 = 9k\pm r^3$, per un opportuno $\, k$
(basta sviluppare la potenza binomiale per verificarlo), quindi possiamo
calcolare i cubi dei $\, \pm r \,$ in (2), oltre al caso nullo:

$\{(\pm 1)^3 = \pm 1 \\ (\pm 2)^3 = \pm 8 \\ (\pm 3)^3 = \pm 27 \\ (\pm 4)^3 = \pm 64$

e poiché:

$\pm 8 = \pm 9 \mp 1 \\ \pm 27 = \pm 9\cdot 3 \\ \pm 64=\pm 9\cdot 7 \pm 1$

alla fine, dividendo un cubo intero per 9, possiamo trovare solo questi
resti: 0, -1 e 1.
Riassumendo, allora, abbiamo:

$\{x^3 = 9\cdot s+{\{0 \\ -1 \\ 1} \\ y^3 = 9\cdot t +{\{0 \\ -1 \\ 1} \\ z^3=9\cdot u +{ \{0 \\ -1 \\ 1}$

per opportuni $\, s\,$, $\, t \,$ e $\, u\,$, mentre l'ordine attribuito ai resti non significa
nulla (è solo una scelta di comodo).
Nel primo membro della (1), dunque, il resto massimo positivo raggiungibile
è 1+1+1=3, mentre quello minimo negativo è -1-1-1=-3. Dividendo x³+y³+z³
per 9, in altre parole, si ottiene un resto che può variare da -3 a 3. Non si può
avere un resto più grande di 3 (per esempio, 4) e non si può avere un resto
più piccolo di -3 (per esempio, -4).
Bene, dividendo 500 per 9 si trova: 500 = 9·56-4 (oppure: 500 = 9·55+5).
Ma -4 3) e, per quello che abbiamo detto sopra, tale resto
non può essere fornito dalla somma di tre cubi interi.

Questo è il concetto, Prontoadimparare, e spero di non aver sbagliato :wink:

A parte il tipo di approccio descritto, che comunque ha una sua generalità, non
sono però in grado di indicarti un metodo generale di risoluzione. Penso che
molto dipenda dal tipo di equazione trattata e dalla 'tecnica' conosciuta, ma
naturalmente penso che siano molto importanti anche le intuizioni e le preferenze
personali.


(Bruno)
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prontoadimparare
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Messaggio da prontoadimparare »

Grazie mille, Bruno! Sei stato chiarissimo...

... e quante cose interessanti!


Grazie ancora
Pai
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