Grande Nicola!

avevo avuto l'intuizione che un algoritmo del genere fosse possibile;
veramente potente;
ho fatto 5 prove con numeri diversi ed alla 2° iterazione, in tutte e 5 le prove ho avuto una precisione (accuratezza) di 3 cifre decimali!

nei miei calcoli "avanzati" (per modo di dire), che ho citato sopra, ho considerato anch'io una funzione, ovvero la funzione che rappresenta il rapporto per il restringimento dell'intervallo (che è $\frac 1 2$ utilizzando la ricerca per dimezzamenti successivi);
l'ho graficata, e con excel ho calcolato la retta che meglio approssima lìandamento di tale funzione;
ho poi ulteriormente approssimato tale retta con la retta costante (quindi del tipo $y=c$) che meglio l'approssima;
alla fine ho ricavato che un ottimo rapporto da scegliere come 1° iterazione è $\frac{1}{5}$;
sto portando avanti i calcoli per le iterazioni successive, ma a questo punto, lo faccio per mera curiosità, visto che l'algoritmo da te proposto è sorprendente!

Devo dire però, che riguardo la quantità di tasti digitati sulla calcolatrice, mi sembra che, col tuo metodo se ne hanno un pò di più rispetto al metodo di Archimede, in quanto l'equazione per l'iterazione è complicata da calcolare a mano.

Devo provarlo sui logaritmi...

Ciao
Admin

Ciao Pietro,

Admin ha scritto:Grande Nicola!

non sono io che son grande, è il metodo delle tangenti di Newton che è particolarmente raffinato. Mi sono limitato semplicemente a riportarlo e nulla più.

Per il calcolo della radice quinta, se $y = \sqr[5]{x}$, ponendo

$F(x,y) \equiv y^5 - x = 0$,

si ha

$F_y(x,y) = 5y^4$.

Pertanto si ottiene la formula iterativa :


$y_{n+1} = y_n - \frac{y_n^5 - x}{ 5y_n^4}$, oppure


$y_{n+1} = \frac{1}{5}(4y_n + \frac{x}{y_n^4})$, di immediata convergenza.

Riguardo al numero di tasti da digitare sulla calcolatrice vedo che, ancora una volta, è rispettato il "Principio di conservazione della difficoltà matematica di calcolo".

Un salutone.

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