Pigreco

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Pigreco

Messaggio da Pasquale »

A zonzo per internet, ho trovato la seguente formula di pigreco

$\pi = 2\cdot \frac {2}{\sqrt{2}}\cdot \frac {2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \frac {2}{\sqrt{2+\sqrt{2+ \sqrt{2}}}}$..............

che ho tradotto nel seguente programmino in Decimal Basic, da far girare con la precisione 10/1000 :

LET p=4/SQR(2)
LET x=SQR(2)
FOR m=1 TO 100
LET x=SQR(2+x)
LET p=p*2/x
NEXT M
PRINT p
PRINT pi
END

Il valore di p converge velocemente verso pigreco, talché risulta sufficiente un ciclo FOR-NEXT di appena 100 reiterazioni, per ottenere una precisione fino alla sessantesima cifra decimale.

Qualcuno sa da dove vien fuori la formula? Come si dimostra?
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Edmund
Livello 3
Livello 3
Messaggi: 83
Iscritto il: gio mag 26, 2005 10:11 pm

Messaggio da Edmund »


Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Messaggio da Pasquale »

Ho visto grazie, però qui si vedono solo 2: in qualche modo, penso discenda sempre dal rapporto circonferenza/diametro, ma forse è diverso il criterio di avvicinamento alla circonferenza.
Mumble, mumble........
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Messaggio da Pasquale »

Questo è un altro modo di calcolare pigreco:

$\pi = 4 \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac {(-1)^n}{2n+1}$

così tradotto:

FOR n=0 TO 1000000
LET x=x+(-1)^n*1/(2*n+1)
NEXT N
PRINT 4*x

Converge molto più lentamente, rispetto al primo sistema, talché dopo 1 milione di reiterazioni, il pigreco risulta approssimato appena alla quinta cifra decimale.
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Pigreco

Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:A zonzo per internet, ho trovato la seguente formula di pigreco

$\pi = 2\cdot \frac {2}{\sqrt{2}}\cdot \frac {2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot \frac {2}{\sqrt{2+\sqrt{2+ \sqrt{2}}}}$..............

(...)

Qualcuno sa da dove vien fuori la formula? Come si dimostra?
Ricordavo di averla già vista, mi sembrava un risultato "storico".
In effetti, scartabellando qua e là, ho ritrovato un'espressione che equivale
a quella che tu proponi ed è una formula notevole del matematico francese
F. Viète (XVI secolo).
Sto scrivendo da una biblioteca e quindi non posso dilungarmi, ma questo
è il risultato di Viète:

$\frac{\pi}{2}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{1}{2}}}}\; ...}$

da cui, con semplici interventi, deriva proprio quella che tu hai trovato in
Internet.
Di questa formula parla anche C. Boyer in Storia della matematica (capitolo:
Ricostruzione del trattato di Apollonio) e D. Wells in Numeri memorabili.
Si può ottenere attraverso l'inscrizione di successivi poligoni regolari in una
circonferenza.

Guardando un po' fra i miei libri, mi è saltata fuori una cosina che ho 'scoperto'
parecchi anni fa e che mi diverte lasciar qui come sorpresina pasquale:

$41\cdot (10^5\cdot \pi ^{\frac{355}{113}}+1)\simeq 149494941$

che fornisce una buona approssimazione di $\, \pi \,$ (credo fino alla nona o
decima cifra).
Vabbè... naturalmente, Pasquale, non ha nulla a che fare con l'interessante
algoritmo che hai riportato qui sopra :wink:

Buona Pasqua a tutti!

Bruno
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

leandro
Livello 3
Livello 3
Messaggi: 81
Iscritto il: lun feb 06, 2006 11:20 am

Messaggio da leandro »

La formula di Viète si puo' ottenere da un'altra (di cui Pasquale
chiedeva la dimostrazione nel post "Crisi di identita' ").
Essa si puo' ricavare ,come gia' suggerito da altri forumisti,applicando
ripetutamente la formula di duplicazione del seno.Precisamente:
$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$

$\sin \frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2^2}\cos\frac{x}{2^2}$

$\sin \frac{x}{2^2}=2\sin\frac{x}{2^3}\cos\frac{x}{2^3}$
.....................................
.....................................
$\sin \frac{x}{2^{n-1}}=2\sin\frac{x}{2^{n}}\cos\frac{x}{2^{n}}$

Moltiplicando membro a membro ed eliminando i fattori comuni
risulta:
$\sin x=2^n \sin \frac{x}{2^n}\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2^2}\cos\frac{x}{2^3}...\cos\frac{x}{2^n}$
Oppure:
$\frac {sin x}{x}.\frac{\frac{x}{2^n}}{\sin\frac{x}{2^n}}=\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2^2}\cos\frac{x}{2^3}...\cos\frac{x}{2^n}$
Da cui ,passando al limite per n-->+inf ,si ottiene:
$\frac {sin x}{x}=\cos \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2^2}\cos\frac{x}{2^3}.....$
Se poi in questa formula poniamo $x=\frac{\pi}{2}$ con qualche
calcolo si ottiene il risultato richiesto.
Buona Pasqua a tutti
Leandro

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Messaggio da Pasquale »

Grazie ragazzi.....studioooosiiiiiiii
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Rispondi