Trovare le soluzioni del seguente sistema:
$\{x^2y + xy^2 = 1\\x^3 + y^3 = 5$
sistema
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
...
Yesss... sarei d'accordo anch'io con Panurgo
Infatti, per $\small xy(x+y)=1$ e $\small x^3+y^3=5$:
$\small (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y) \, \to \, (x+y)^3=5+3\cdot 1 \, \to \, x+y=2$
e poi:
$\small xy(x+y)=2xy=1$,
quindi il sistema può diventare questo, più avvicinabile:
$\small \{x+y=2 \\ 2xy=1 \, ,$
che porta alle soluzioni indicate.
(Bruno)
Yesss... sarei d'accordo anch'io con Panurgo
Infatti, per $\small xy(x+y)=1$ e $\small x^3+y^3=5$:
$\small (x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y) \, \to \, (x+y)^3=5+3\cdot 1 \, \to \, x+y=2$
e poi:
$\small xy(x+y)=2xy=1$,
quindi il sistema può diventare questo, più avvicinabile:
$\small \{x+y=2 \\ 2xy=1 \, ,$
che porta alle soluzioni indicate.
(Bruno)
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Invisibile un vento
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e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Questo è stato il mio processo logico
Partendo dal sistema originale
$\left\{x^{\script 2}y + xy^{\script 2} = 1 \\ x^{\script 3} + y^{\script 3} = 5 \right.$
si moltiplica la prima riga per $3$
$\left\{ 3x^{\script 2}y + 3xy^{\script 2} = 3 \\ x^{\script 3} + y^{\script 3} = 5 \\ \right.$
e la si combina con la seconda ottenendo
$x^{\script 3} + 3x^{\script 2}y + 3xy^{\script 2} + y^{\script 3} = 8$
cioè
$\left( {x + y} \right)^ {\script 3} = 8\quad \Rightarrow \quad x + y = 2$
si riscrive quindi la prima riga raccogliendo $xy$
$xy\left( {x + y} \right) = 1\quad \Rightarrow \quad xy = \frac{1} {2}$
e si ottiene il sistema
$\left\{ x + y = 2 \\ xy = \frac {1} {2} \\ \right.$
che corrisponde all'equazione di secondo grado in $x$ (o $y$, l'è istess)
$2x^{\script 2} - 4x + 1 = 0\quad \Rightarrow \quad x = \frac{{2 \pm \sqrt 2 }} {2}\quad \Rightarrow \quad y = \frac{{2 \mp \sqrt 2 }} {2}$
Il valore di $y$ è imposto dalla simmetria delle equazioni.
Partendo dal sistema originale
$\left\{x^{\script 2}y + xy^{\script 2} = 1 \\ x^{\script 3} + y^{\script 3} = 5 \right.$
si moltiplica la prima riga per $3$
$\left\{ 3x^{\script 2}y + 3xy^{\script 2} = 3 \\ x^{\script 3} + y^{\script 3} = 5 \\ \right.$
e la si combina con la seconda ottenendo
$x^{\script 3} + 3x^{\script 2}y + 3xy^{\script 2} + y^{\script 3} = 8$
cioè
$\left( {x + y} \right)^ {\script 3} = 8\quad \Rightarrow \quad x + y = 2$
si riscrive quindi la prima riga raccogliendo $xy$
$xy\left( {x + y} \right) = 1\quad \Rightarrow \quad xy = \frac{1} {2}$
e si ottiene il sistema
$\left\{ x + y = 2 \\ xy = \frac {1} {2} \\ \right.$
che corrisponde all'equazione di secondo grado in $x$ (o $y$, l'è istess)
$2x^{\script 2} - 4x + 1 = 0\quad \Rightarrow \quad x = \frac{{2 \pm \sqrt 2 }} {2}\quad \Rightarrow \quad y = \frac{{2 \mp \sqrt 2 }} {2}$
Il valore di $y$ è imposto dalla simmetria delle equazioni.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
...non credere, anche per me è molto istruttivo leggere te e gli altri basecinquiniPasquale ha scritto:E' sempre bello leggervi ragazzi: come riuscite a manipolare le cose voi, è sempre istruttivo.
(Bruno)
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{Biagio Marin}
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