Sopra e sotto le progressioni aritmetiche

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Sopra e sotto le progressioni aritmetiche

Messaggio da Bruno »

...

Sia $\,a_i\,$ il generico termine di una progressione aritmetica.

Abbiamo che:

$\prod_{i=0}^{n}a_i \, > \, (a_o\cdot a_n)^{\small \frac{1}{2}(n+1)}$

$\sum_{i=0}^{n}a_i \, < \, (a_o+a_n)\cdot \frac{1}{2}(n+1)$


(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Nicola
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Messaggio da Nicola »

La seconda delle due diseguaglianze è abbastanza immediata: infatti

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_i = \frac{(n+1)(a_0+a_n)}{2}\, \le \,(a_o+a_n)\cdot \frac{1}{2}(n+1)$.

Mentre per l'altra sono ad un punto morto: facendo il logaritmo dei due membri

$\left\displaystyle\ln(\prod_{i=0}^{n}a_i) \, > \, \ln((a_o\cdot a_n)^{\small \frac{1}{2}(n+1)})\right$

arrivo soltanto a

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n}\ln{a_i}\, > \,(\ln{a_o}+\ln{a_n})\cdot \frac{1}{2}(n+1)$.

E a questo punto non so se può tornar utile la disuguaglianza precedente (anche perché non è detto che $\ln{a_i}$ sia il termine generico di una progressione aritmetica). :?
Nicola.
"La Matematica è una vera sinfonia dell'infinito" (David HILBERT).

leandro
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Messaggio da leandro »

Prima diseguaglianza.
Faccio una premessa.Se applichiamo la relazione di Bruno alla progressione
-1,1,3,5 otteniamo la relazione -15>(-5)^2 che e' falsa.Percio' limiterei la
dimostrazione al caso in cui ao>0 e d>0 (d=ragione) cioe' al caso
di una progressione crescente con i termini tutti positivi (per gli altri casi
aspetto lumi).Cio' detto ,siano $a_r,a_s$ due termini (equi)distanti
k posti dagli estremi della progressione (con 0a_r[/tex] segue che:
$a_ra_s>a_0a_n$.Ora abbiamo:
$\Pi a_i=a_0a_1....a_{n-1}a_n$
$\Pi a_i=a_na_{n-1} ....a_1a_0$
Moltiplicando:
$\left (\Pi a_i \right)^2=(a_0a_n)(a_1a_{n-1})....(a_{n-1}a_1)(a_na_0)$
e per quello che si e' detto sui termini equidistanti si ha :
$\left (\Pi a_i \right)^2>(a_0a_n)(a_0a_n)....(a_0a_n)(a_0a_n)=(a_0a_n)^{n+1}$
ed in definitiva:
$\left (\Pi a_i \right)>(a_0a_n)^{\frac{n+1}{2}$
Leandro

Bruno
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Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno »

...

Bravo Leandro!
Naturalmente, l'indice s ha la stessa limitazione di r e potrebbe anche
essere s=r (per il termine centrale, quando n è pari).

leandro ha scritto:(...) Se applichiamo la relazione di Bruno alla progressione
-1,1,3,5 otteniamo la relazione -15>(-5)^2 che e' falsa. Percio' limiterei la
dimostrazione al caso in cui ao>0 e d>0 (d=ragione) cioe' al caso
di una progressione crescente con i termini tutti positivi (per gli altri casi
aspetto lumi).
:oops: Purtroppo (eccezionalmente) ho ricopiato questo problema qualche tempo
fa e l'ho proposto senza averlo ancora studiato...
Ho riletto l'appunto ed è scritto proprio così, ma può anche essere che abbia
perso qualche pezzo (peraltro, non so nemmeno più dove ho trovato il testo).
Quindi non sono in grado di darti i lumi che chiedi, Leandro... Scusami se ti ho
fatto ammattire un pochino e mi scuso anche con Nicola :wink:
A questo punto, però, potrebbe essere interessante cercare di capire come
può essere completata la prima disuguaglianza.

Bruno
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