Come il giovane Gauss (o quasi)

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Come il giovane Gauss (o quasi)

Messaggio da Bruno »

Abbiamo una calcolatrice con le funzioni trigonometriche e questa somma:

$\small sen\,3^o\,+\,sen\,7^o\,+\,sen\,11^o\,+\,sen\,15^o\,+\,sen\,19^o\,+\,...\,+\, sen\,395^o\,+\,sen\,399^o$.

Esiste una maniera veloce per calcolarla?


(Bruno)
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delfo52
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Messaggio da delfo52 »

per cominciare direi che i primi novanta termini potremmo eliminarli
Enrico

Bruno
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Messaggio da Bruno »

Ops... :shock:
E poi cosa faresti, Enrico?
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Daniela
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Messaggio da Daniela »

intanto se ne eliminano un bel po' grazie a sin (x + pigreco) = - sin x
dal momento che pigreco ossia 180 gradi e' multiplo intero di quattro gradi, lo step della sequenza.
gli altri, boh, se c'e' la calcolatrice forse si fa prima a calcolarli tutti e dieci o quantisono che a ragionarci su...
Daniela
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

Ottimo, Daniela :wink:
E come dice anche Enrico (che pure si conferma, per me, un provetto arciere),
per questa via rimane una decina di seni da sommare... ma si può fare qualcosina
di più!
(Bruno)

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leandro
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Messaggio da leandro »

Se puo' interessare riporto una formula di caratttere generale:
$\sin\alpha+a\sin(\alpha+h)+a^2\sin(\alpha+2h)+a^3\si(\alpha+3h)+...+a^k\sin(\alpha+kh)=$
$=\frac{a^{k+2}\sin(\alpha+kh)-a^{k+1}\sin(\alpha+h(k+1)-a\sin(\alpha-h)+\sin\alpha}{a^2-2a\cosh+1}$
Nel caso nostro risulta (angoli in gradi sessagesimali):
$a=1,\alpha=3,h=4,k=99$ e quindi con qualche calcolo si trova che la somma S richiesta e':
$S=\frac{\sin20sin21}{sin2}=3.51$ circa.
Leandro

Bruno
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Re: Come il giovane Gauss (o quasi)

Messaggio da Bruno »

...

Certo che interessa!
Con una lieve modifica alla correttissima soluzione generale di Leandro, in questo
preciso caso numerico potremmo anche scrivere:

${\small sen\,3^o\,+\,sen\,7^o\,+\,sen\,11^o\,+\,...\,+\,sen\,399^o} = \frac{\,sen\, (\frac{399+1}{2}) \cdot sen\, (\frac{399+1}{2}+1)}{sen\, 2} = \frac{\,sen\, 200\cdot sen\, 201}{sen\, 2}$

giusto per risaltare la simpatica somiglianza con il calcolo della somma dei primi
numeri naturali :wink:
(Bruno)

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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Buona la formula di Leandro, che applicata alle mie risultanze diviene:

$\frac{\sin1+\sin3+\sin39-\sin43}{2(1-\cos4)}$

riferita alla somma dei seni di 3,7,11,15,19,23,27,31,35,39 (residui risultanti dal trasporto di tutti i seni al primo quadrante).

Non mi dispiacerebbe di vedere come la suddetta formula potrebbe essere trasformata in altra più snella.

Suppongo che sia $\frac{\sin20\cdot\sin21}{sin2}$
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Daniela
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Messaggio da Daniela »

...lo noto solamente adesso... chiedo scusa a enrico e bruno per la disattenzione, e vedo che intanto il quesito e' stato sezionato meravigliosamente :D
Daniela
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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Bruno, tu dicevi che si può fare qualcosa in più?
Ultima modifica di Pasquale il sab apr 08, 2006 3:25 pm, modificato 1 volta in totale.
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Bruno
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Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:Bruno, tu dicevi che si può fare qualcosa in più?
Praticamente Leandro ha già annunciato la mia idea.
Quando ho inventato il problema (perché, ahivoi, l'ho inventato!) ho pensato
a qualcosa che disorientasse un po' (i tanti termini che alla fine si volatilizzano)
e soprattutto avevo in mente questa bella uguaglianza:

${\small sen\,\alpha\,+\,sen\,(\alpha+k)\,+\,sen\,(\alpha+2k)\,+\,sen\,(\alpha+3k)\,+\,...\,+\,sen\,[\alpha+(n-1)k]} = \frac {sen\, \(\frac{nk}{2}\)\cdot \,sen\, \[\alpha+\frac{(n-1)k}{2}\]}{sen\, \( \frac {k}{2}\)$.

Il calcolo, quindi, si riduce a tre soli seni.
Considerando i dieci termini che tu hai messo in evidenza, Pasquale, abbiamo
effettivamente (per una ragione k=4 e un numero di addendi n=10):

${\small sen\,3^o\,+\,sen\,7^o\,+\,sen\,11^o\,+\,...\,+\,sen\,39^o} = \frac{sen\, \(\frac{10\cdot 4}{2}\) \cdot sen\, \(3+\frac{9\cdot 4}{2}\)}{sen\, \( \frac {4}{2}\)} = \frac{\,sen\, 20 \cdot sen\, 21}{sen\, 2}$

come hai giustamente supposto.

:wink:
(Bruno)

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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Bruno, ho provato la tua formula (anche con altre successioni) ed ho visto che funziona magnificamente: è molto semplice ed effettivamente ne ricorda altre.
Chissà se è possibile vedere come salta fuori (finora ci sono riuscito con una successione di 2 elementi, utilizzando le formule di prostaferesi e quelle di bisezione).
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