Un'equazione goniometrica

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Nicola
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Un'equazione goniometrica

Messaggio da Nicola »

Risolvere l'equazione goniometrica seguente:

$\sin(x + y) = \sin{x} + \sin{y}$.
Nicola.
"La Matematica è una vera sinfonia dell'infinito" (David HILBERT).

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Si perviene a:

(cos x +1)(sen x + sen y) = 0

da cui:

$\text cos x = -1; x = \pi; y = qualsiasi\\ sen x = - sen y; x = qualsiasi; y = - x$

quindi: $\text y = -x, ma se x = \pi, allora y = qualsiasi$
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Nicola
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Messaggio da Nicola »

Ciao, Pasquale
Pasquale ha scritto:Si perviene a: (cos x +1)(sen x + sen y) = 0
non capisco come l'abbia potuta ottenere, dal momento che l'equazione di partenza è simmetrica in x e in y, mentre questa tua evidentemente no. :?

Per le soluzioni (anch'esse simmetriche), ne hai calcolate soltanto una parte. :wink:
Nicola.
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leandro
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Messaggio da leandro »

L'equazione si puo' scrivere cosi':
$2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x+y}{2}=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$
da cui:
$\sin\frac{x+y}{2} \left [\cos \frac{x+y}{2}-\cos \frac{x-y}{2} \right]=0$
Oppure (con un cambio di segno ed una semplificazione per 2):
$\sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2}=0$
Pertanto si hanno le soluzioni seguenti:
a)$x=2h \pi,y=qualunque$
b)$y=2h \pi,x=qualunque$
c)$x+y=2h \pi$
(con $h \in N$)
Leandro

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Hai ragione...un errore di trascrizione:

sen(x+y) = sen x cos y + cos x sen y = sen x + sen y

sen x cos y - sen x + cos x sen y - sen y = 0

qui ho scritto:

sen x(cos x -1) + sen y(cosx - 1) = 0, da cui la relazione errata, invece di:

sen x(cos y -1) + sen y(cosx - 1) = 0
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Nicola
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Messaggio da Nicola »

Complimenti, Leandro, la tua soluzione è molto più elegante della mia.
Brevemente: sviluppo il primo membro con la formula di addizione e poi parametrizzo in funzione di $\tan\frac{x}{2} = u$ e di $\tan\frac{y}{2} = v$.
In tal modo ottengo (al termine di tutti i conti) l'equazione:

$4uv(u +v) = 0$

che conduce alle stesse tue soluzioni. Tieni, però, presente che $h\in Z$.
Nicola.
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