Risolvere l'equazione goniometrica seguente:
$\sin(x + y) = \sin{x} + \sin{y}$.
Un'equazione goniometrica
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Un'equazione goniometrica
Nicola.
"La Matematica è una vera sinfonia dell'infinito" (David HILBERT).
"La Matematica è una vera sinfonia dell'infinito" (David HILBERT).
Ciao, Pasquale
Per le soluzioni (anch'esse simmetriche), ne hai calcolate soltanto una parte.
non capisco come l'abbia potuta ottenere, dal momento che l'equazione di partenza è simmetrica in x e in y, mentre questa tua evidentemente no.Pasquale ha scritto:Si perviene a: (cos x +1)(sen x + sen y) = 0
Per le soluzioni (anch'esse simmetriche), ne hai calcolate soltanto una parte.
Nicola.
"La Matematica è una vera sinfonia dell'infinito" (David HILBERT).
"La Matematica è una vera sinfonia dell'infinito" (David HILBERT).
L'equazione si puo' scrivere cosi':
$2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x+y}{2}=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$
da cui:
$\sin\frac{x+y}{2} \left [\cos \frac{x+y}{2}-\cos \frac{x-y}{2} \right]=0$
Oppure (con un cambio di segno ed una semplificazione per 2):
$\sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2}=0$
Pertanto si hanno le soluzioni seguenti:
a)$x=2h \pi,y=qualunque$
b)$y=2h \pi,x=qualunque$
c)$x+y=2h \pi$
(con $h \in N$)
Leandro
$2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x+y}{2}=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$
da cui:
$\sin\frac{x+y}{2} \left [\cos \frac{x+y}{2}-\cos \frac{x-y}{2} \right]=0$
Oppure (con un cambio di segno ed una semplificazione per 2):
$\sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x}{2} \sin \frac{y}{2}=0$
Pertanto si hanno le soluzioni seguenti:
a)$x=2h \pi,y=qualunque$
b)$y=2h \pi,x=qualunque$
c)$x+y=2h \pi$
(con $h \in N$)
Leandro
Hai ragione...un errore di trascrizione:
sen(x+y) = sen x cos y + cos x sen y = sen x + sen y
sen x cos y - sen x + cos x sen y - sen y = 0
qui ho scritto:
sen x(cos x -1) + sen y(cosx - 1) = 0, da cui la relazione errata, invece di:
sen x(cos y -1) + sen y(cosx - 1) = 0
sen(x+y) = sen x cos y + cos x sen y = sen x + sen y
sen x cos y - sen x + cos x sen y - sen y = 0
qui ho scritto:
sen x(cos x -1) + sen y(cosx - 1) = 0, da cui la relazione errata, invece di:
sen x(cos y -1) + sen y(cosx - 1) = 0
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
Complimenti, Leandro, la tua soluzione è molto più elegante della mia.
Brevemente: sviluppo il primo membro con la formula di addizione e poi parametrizzo in funzione di $\tan\frac{x}{2} = u$ e di $\tan\frac{y}{2} = v$.
In tal modo ottengo (al termine di tutti i conti) l'equazione:
$4uv(u +v) = 0$
che conduce alle stesse tue soluzioni. Tieni, però, presente che $h\in Z$.
Brevemente: sviluppo il primo membro con la formula di addizione e poi parametrizzo in funzione di $\tan\frac{x}{2} = u$ e di $\tan\frac{y}{2} = v$.
In tal modo ottengo (al termine di tutti i conti) l'equazione:
$4uv(u +v) = 0$
che conduce alle stesse tue soluzioni. Tieni, però, presente che $h\in Z$.
Nicola.
"La Matematica è una vera sinfonia dell'infinito" (David HILBERT).
"La Matematica è una vera sinfonia dell'infinito" (David HILBERT).