Una questione di Bombelli

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Bruno
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Una questione di Bombelli

Messaggio da Bruno »

...

Si tratta del Problema CXLIX del Libro Terzo dell'Algebra di Rafael Bombelli,
che mi è capitato sotto gli occhi ieri sera.
Questo è il testo originale:

Trovinsi due cubi tali che la differenza loro sia eguale alla differenza de' lati loro.

Possiamo trattarlo alla maniera di Diofanto, cioè cercando delle soluzioni
razionali.
Riporto anche, a mo' di stimolo, un passo che Bombelli stesso premette al
terzo libro:

Però essorto il Lettore ad applicargli l'animo totalmente, che di non pensata
contentezza e giovamento gli sarà.


:D
(Bruno)

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panurgo
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Messaggio da panurgo »

la nostra algebra ci dice che

$a^{\script 3} - b^{\script 3} = \left(a - b\right)\left(a^{\script 2} +ab + b^{\script 2}\right)$

quindi, per rispondere al Bombelli bisogna che sia

$a^{\script 2} +ab + b^{\script 2}-1=0$

Risolvendo rispetto ad $a$ (rispetto a $b$ le cose non cambiano)

$a = \frac {- b + \sqrt {4 - 3b^{\script 2}}} 2$

perché $a$ sia un numero reale non negativo (è una lunghezza) deve essere

$- b + \sqrt {4 - 3b^{\script 2}} \ge 0 \quad \Rightarrow \quad 0 \leq b \leq 1$

Gli unici numeri interi che danno il risultato voluto son $0$ e $1$.

Oppure ho sbagliato tutto! :roll:
il panurgo

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Bruno
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Messaggio da Bruno »

Panurgo ha scritto:Oppure ho sbagliato tutto!
...no, tutto Ok, Panurgo!
La questione però dovrebbe essere risolta semplicemente in numeri razionali, come
ha fatto lo stesso Bombelli e come in questi casi faceva anche Diofanto (a cui il Bombelli
s'ispira).
(Bruno)

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panurgo
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Messaggio da panurgo »

mi consolo pensando che, quando cerchi una strada diversa, è comunque utile sapere dove stai andando... :)
il panurgo

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leandro
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Messaggio da leandro »

Una soluzione elementare del bel problema di Bruno puo' essere la seguente.
Scambiando a e b con x e y (scusate la ridondanza ma se non vedo x e y
nel piano cartesiano mi si confondono le idee!!) l'equazione trovata da Panurgo
diventa :$x^2+xy+y^2=1$ che rappresenta un'ellisse di centro l'origine O e passante,ad esempio,per A(1,-1).
Intersechiamo allora la retta generica per A,di equazione y+1=m(x-1),con tale
curva ottenendo come ulteriore intersezione (vi risparmio i calcoli) il punto
variabile P(x,y) dove risulta:
$x=\frac{m^2+2m}{m^2+m+1},y=\frac{-2m-1}{m^2+m+1}$
Se ,come e' necessario, deve essere x,y>0 allora occorre che sia mx=3/7,y=5/7
m=-5/2--->x=5/19,y=16/19[/b]
ed e' facile verificare che tali numeri soddisfano la richiesta di R.Bombelli.
Chissa' come quest'ultimo l'avra' poi risolto!!
Leandro

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Bell'approccio, Leandro!
Naturalmente, vedrei molto volentieri anche altre proposte :D
leandro ha scritto:Chissa' come quest'ultimo l'avra' poi risolto!!
...avevo già intenzione di passare allo scanner la soluzione di Bombelli, però
la metterò solo dopo le vostre (e la mia, sempre che la consideri ancora
in qualche modo meritevole, che cioè non sia uguale a una di quelle inviate).

Bruno
(Bruno)

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Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Il procedimento di Pan mi pare esatto e se il discorso non è geometrico, allora è sufficiente imporre $4-3b^2\ge 0$, ovvero $-\frac{2}{3}\sqrt{3}\le b \le \frac{2}{3}\sqrt{3}$, da cui: $\text -\frac{sqrt{3}}{3}\le a\le \frac{sqrt{3}}{3}$.

L'unica differenza sta nel fatto che, in base al testo e per una maggiore comprensibilità da parte di eventuali lettori alle prime armi, sarei arrivato al procedimento di Panurgo, partendo da:

$a^3 - b^3 = a - b$, da cui:

$\frac {a^3 - b^3}{a - b} = 1$

$a^2 + ab + b^2 = 1$

$a^2 + ab + b^2 - 1 = 0$

Ai principianti occorre però dire che il procedimento di Pan è più elegante, perché inizia e conclude in due soli passaggi.
Ultima modifica di Pasquale il ven mar 24, 2006 5:15 pm, modificato 1 volta in totale.
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

panurgo
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Messaggio da panurgo »

Approfitto del suggerimento di leandro per visualizzare come non ci siano che due soluzioni intere (che dovessero esser tali mi è stato suggerito da Diofanto).

Immagine

Ovviamente, le soluzioni razionali sono infinite...
il panurgo

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Bruno
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Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:Il procedimento di Pan mi pare esatto (...) Ai principianti occorre però dire che il procedimento di Pan è più elegante, perché inizia e conclude in due soli passaggi.
...certo, Pasquale, la correttezza dell'approccio di Panurgo è fuori discussione.
Ed è pure elegante, non ci piove. Anche se penso che quest'ultimo aspetto possa
dipendere da molti fattori, non solo dal numero dei passaggi eseguiti (per esempio,
può avere a che fare con il tipo del ragionamento applicato, con le idee utilizzate etc.).
A me è capitato di vedere metodi risolutivi senz'altro meno brevi di altri, ma che
ai miei occhi sono apparsi comunque più interessanti e, in un certo senso, più
eleganti. Comunque questo è solo un mio punto di vista e certi concetti sono
decisamente al di là della mia portata (e non potrei mai trattarli di fronte ai principianti,
essendo io stesso un principiante).
Mi ha fatto però piacere vedere anche il procedimento di Leandro (che peraltro ha
fornito le formule finali dei due numeri richiesti) per come ha interpretato la questione.

Una piccola nota. Oggi si usa chiamare "equazione diofantea o diofantina" una
relazione (anche indeterminata, cioè con infinite soluzioni) che sia risolvibile in
numeri interi. Diofanto, tuttavia, nei suoi problemi si preoccupava piuttosto di
trovare delle soluzioni razionali, e così ha fatto anche lo stesso Bombelli in diversi
punti della sua Algebra. La ricerca delle soluzioni intere delle equazioni, quindi, non
ha caratterizzato il lavoro di Diofanto, anche se i matematici posteriori hanno ideato
su certi suoi problemi alcune potenti proprietà della Teoria dei Numeri.

Altre proposte?

Un saluto a tutti!

:wink:
(Bruno)

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Messaggio da Admin »

X Panurgo

anzichè imageShack è possibile utilizzare l'account http://www.base5images.altervista.org;
per i dettagli vedi qui

si fa prima, ed inoltre abbiamo le immagini tutte su di un account.

Ciao
Admin
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net

Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

Sto preparando le immagini della soluzione di Bombelli.

Intanto ne approfitto per riportare il mio procedimento.
Parto dall'equazione a cui è giunto Panurgo, ipotizzando
perciò che sia $\,{\small a\,\neq\,b}\,$:

$a^2+ab+b^2 = 1$ (*)

e la trasformo in questa:

$(a+b)^2-ab = 1$,

ossia:

$ab = (a+b-1)(a+b+1)\,$

con $\,{\small a+b\,\neq\,\pm1\,,}\,$ quindi trascuro i valori nulli per $\,a\,$ e $\,b\,$.

A questo punto considero:

$\frac{a}{a+b-1} = \frac{a+b+1}{b} = k\,$,

dove $\,k\,$ è un numero razionale diverso da 0.

Con semplici passaggi, allora, posso esprimere $\,a\,$ e $\,b\,$
attraverso $\,k\,$:

$\{a = \frac{k(k-2)}{k^2-k+1}\\b = \frac{2k-1}{k^2-k+1}\, ,$

per $k$ diverso sia da ½ che da 2.
Nel campo dei numeri razionali, lo si dimostra facilmente,
il denominatore di queste frazioni è sempre positivo.

Posso scrivere, inoltre, la seguente identità:

$\[\frac{k(k-2)}{k^2-k+1}\]^{\small 3}-\[\frac{2k-1}{k^2-k+1}\]^{\small 3} = \frac{k(k-2)}{k^2-k+1}-\frac{2k-1}{k^2-k+1}\,$,

la quale, fra l'altro, permette di trovare infinite soluzioni
intere anche per l'equazione diofantea indeterminata:

$x^2+xy+y^2 = z^2$.


^.^.^.^.^


Se volessi (o volassi?) prendere $\,a\,>\,b\,>\,0\,$ e $\,k\,>\,0\,$ ,
otterrei:

per $\; a\,>\,b\,:\;\;k^2-2k\,>\,2k-1\,\to\,(k-1)^2-2(k-1)\,>\,2\,\to\,(k-2)^2\,>\,3\,$,

per $\;b\,>\,0\,:\;\;\frac{k(k-2)}{k^2-k+1}\,>\,0\,\to\,k\,>\,2\,$,

e dunque:

$(k-2)^2\,>\,3\,\to\,k\,>\,2+\sqrt{3}$.

Due esempi:

$k = \frac{15}{4}\,\to\,\{a = \frac{105}{181}\\b = \frac{104}{181}\;$, quindi: $\;\(\frac{105}{181}\)^3-\(\frac{104}{181}\)^3=\frac{105}{181}-\frac{104}{181}$

$k = 5\,\to\,\{a = \frac{5}{7}\\b = \frac{3}{7}\;$, quindi: $\;\(\frac{5}{7}\)^3-\(\frac{3}{7}\)^3=\frac{5}{7}-\frac{3}{7}$
>Se&o


(Bruno)



....................

(*) Per la ricerca delle eventuali soluzioni intere di questa relazione,
si potrebbero esaminare le seguenti sue forme: (a+b)²-ab=1 e
(a-b)²+3ab=1, utilizzando la prima quando a e b non siano
contemporaneamente positivi o negativi, o uno di essi sia nullo, e
ricorrendo alla seconda nelle altre eventualità.
E' immediato rendersi conto che la seconda forma, cioè con a e b
entrambi positivi o negativi, non può portare a soluzioni intere. Mentre
la prima impone di cercare, innanzitutto, i quadrati non maggiori di 1,
ossia 0 e 1 stesso. Pertanto, per a>b, l'unica soluzione intera non
negativa dell'equazione è (a,b)=(1,0).
Esistono naturalmente delle altre soluzioni intere, anche relative, dove
comunque |a| e |b| < 2.
Ultima modifica di Bruno il lun apr 03, 2006 1:12 pm, modificato 1 volta in totale.
(Bruno)

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Bruno
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Messaggio da Bruno »

...

E questa è la risoluzione di R. Bombelli del problema proposto :D

........................................................................................................................................
Le porzioni provengono da L'Algebra - Opera di Rafael Bombelli da Bologna, Prima edizione integrale
(B.S.F., Feltrinelli Editore Milano, 1966)



Immagine


Immagine
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