R: "Il problema della mitra" - 6. Quadrare il rettangolo

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_panurgo

R: "Il problema della mitra" - 6. Quadrare il rettangolo

Messaggio da _panurgo »

GEOMETRIA PIANA E SOLIDA

6. Quadrare il rettangolo

E' possibile ritagliare un qualunque rettangolo in un numero finito di pezzi e ricomporli in modo da formare un quadrato che abbia la stessa area del rettangolo?

Ho trovato un procedimento generale per "quadrare" il rettangolo (senza la pretesa di minimizzare il numero di tagli), ma non sono capace di dimostrare che funzioni sempre (prendetela come una congettura).

Dopo aver costruito sul rettangolo dato ABCD il quadrato AEFG di area corrispondente

Immagine

tolta l'area comune alle due figure (AEHD), il problema si riduce a quello di trasformare il rettangolo EBCH nel rettangolo DHFG di area uguale e di lati diversi.

Per prima cosa, è opportuno notare che il segmento $\overline {HC}$ è necessariamente più corto del segmento $\overline {HF}$.

Dimostrazione.

Il rettangolo ABCD ha lati $a$ e $b$ con $a > b$. Il quadrato AEFG ha lato $\sqrt {ab}$. il segmento $\overline {HC}$ è perciò $\sqrt {ab} - b$ mentre il segmento $\overline {HF}$ è $a - \sqrt {ab}$.

Posto

$\overline {HF} < \overline {HC} \,\Rightarrow \,a - \sqrt {ab} < \sqrt {ab} - b$

si ha

$a + b < 2 \sqrt {ab}$

ovvero

$a^2 + b^2 - 2ab = (a - b)^2 < 0$

cioè

$a < b$

contro l'ipotesi, quindi

$\sqrt {ab} - b < a - \sqrt {ab}$

q.e.d.
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_panurgo

Messaggio da _panurgo »

Si procede quindi ad individuare il punto I tale che $\overline {IF} = \overline {HC}$ e si taglia il rettangolo DHFG lungo i segmenti $\overline {IF}$ e $\overline {GI}$

Immagine

Spostando i triangoli IHF e DIG sopra il triangolo GIF si ottiene il parallelogramma GIFJ. Tale parallelogramma ha base uguale al lato del rettangolo EBCH: tagliandolo lungo la diagonale minore ($\overline {IJ}$) e ricomponendolo

Immagine

si ottiene nuovamente un parallelogramma (IFG'J) con base uguale a $\overline {HC}$.

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_panurgo

Messaggio da _panurgo »

Il procedimento si ripete fino a che l'altezza del paralleogramma non giace internamente al parallelogramma stesso; si procede quindi a tagliare lungo tale altezza (G'M) e si ricompone il rettangolo G'MI'J', congruente con il rettangolo EBCH

Immagine

Nel caso in cui la diagonale $\overline {DF}$ del rettangolo DHFG sia minore del segmento $\overline {HC}$ si procede a sezionare in modo analogo il rettangolo EBCH

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_panurgo

Messaggio da _panurgo »

Mi sono detto: "un quadrato è anche un rettangolo, quindi dovrebbe funzionare anche tagliando il parallelogramma con base uguale a $\sqrt {ab}$".

Ecco il risultato!

Immagine

Mi pare che ci siamo...
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_panurgo

Messaggio da _panurgo »

Dopo un po' di riflessione mi sono convinto che così si può "quadrare" qualunque rettangolo tagliandolo in quattro pezzi.

Ecco un esempio con $\frac a b 2$

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_Luciano

Messaggio da _Luciano »

E con questo come la mettiamo?

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Ciao.

_panurgo

Messaggio da _panurgo »

d'accordo, servono più pezzi (comunque, un numero finito).

Si forma il parallelogramma come per il rettangolo rosso in figura

Immagine

e lo si taglia sulla diagonale minore e lo si ricompone fino a che l'altezza non è interna al parallelogramma stesso (vedi sopra)

Forse Luciano ha voglia di dirci qual è il massimo valore di $\frac a b$per cui vale il sezionamento in quattro parti
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_panurgo

Messaggio da _panurgo »

panurgo ha scritto:
Forse Luciano ha voglia di dirci qual è il massimo valore di \frac a b per cui vale il sezionamento in quattro parti

Anzi no, ve lo dico io

Immagine

I triangoli EBC e CC'D sono simili per cui

$\frac y l = \frac x b = \frac{\sqrt{b(a-b)}}{b}=\sqrt{\frac a b - 1}$

La parte intera di $\frac y l$ corrisponde al numero di volte che si rende necessario tagliare il parallelogramma lungo la diagonale minore quindi, il sezionamento in quattro si può fare fino a che

$\frac y l \leq 2 \Rightarrow \frac a b \leq 5$

Da queste considerazioni si vede anche che il numero di sezionamenti è sempre finito (anche se, con questo metodo cresce molto rapidamente) tranne che per $\frac a b \rightarrow \infty$
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Fine recupero.
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