...
Ho appena riguardato in Internet la potente incisione del Goya intitolata Il sonno della ragione
genera mostri e... pòffete, me ne sono saltati fuori due
I numeri naturali con questa forma $\, 2425^n-485^n-30^n+6^n \,$ sono tutti divisibili per 1916.
Sembrerebbe quasi (quasi) difficile averne ragione, ma quello che segue è in realtà più temibile:
$n^{13}-n\,$ è un multiplo di 2730, per ogni n intero.
(Bruno)
Fare a pezzi i mostri
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Fare a pezzi i mostri
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Per n=0 o n=1 il quesito e' vero.Per n>1 si ha:
$2425^n-485^n-30^n+6^n=485^n.5^n-485^n-6^n.5^n+6^n=$
$=485^n(5^n-1)-6^n(5^n-1)=(485^n-6^n)(5^n-1)=$
$=(485-6)(5-1) (485^{n-1}+485^{n-2}+...+1)(5^{n-1}+5^{n-2}+..+1)=$
$=1916(485^{n-1}+485^{n-2}+...+1)(5^{n-1}+5^{n-2}+..+1)$
Il secondo lo vedo piu' tosto.
Leandro
$2425^n-485^n-30^n+6^n=485^n.5^n-485^n-6^n.5^n+6^n=$
$=485^n(5^n-1)-6^n(5^n-1)=(485^n-6^n)(5^n-1)=$
$=(485-6)(5-1) (485^{n-1}+485^{n-2}+...+1)(5^{n-1}+5^{n-2}+..+1)=$
$=1916(485^{n-1}+485^{n-2}+...+1)(5^{n-1}+5^{n-2}+..+1)$
Il secondo lo vedo piu' tosto.
Leandro
2° quesito
Escludo i casi banali n=0 o n=1 e quindi suppongo n>1
Si ha 2730=2.3.5.7.13 ed inoltre,ponendo $N=n^{13}-n$,possiamo scrivere che:
a)$N=n(n^{12}-1)$
b)$N=n(n^2-1)(n^2+1)(n^8+n^2+1)$
c)$N=n(n^4-1)(n^8+n^4+1)$
d)$N=n(n^6-1)(n^6+1)$
Allora:
1)N e' divisibile per 2 poiche' dei due fattori della (a) uno e' certamente pari
2)N e' divisibile per 3 perche' o lo e' n e quindi anche N oppure ,se n e' primo con 3,per Fermat
si ha $n^2 \equiv 1(3)$ e quindi per la (b) 3|N
3)N e' divisibile per 5 perche' o lo e' n e quindi anche N oppure ,se n e' primo con 5,per Fermat si ha $n^4 \equiv 1(5)$ e quindi per la (c) 5|N
4)N e' divisibile per 7 perche' o lo e' n e quindi anche N oppure ,se n e' primo con 7,per Fermat si ha $n^6 \equiv 1(7)$ e quindi per la (d) 7|N
5)N e' divisibile per 13 perche' o lo e' n e quindi anche N oppure ,se n e' primo con 13,per Fermat si ha $n^{12} \equiv 1(13)$ e quindi per la (a) 13|N
Leandro
Escludo i casi banali n=0 o n=1 e quindi suppongo n>1
Si ha 2730=2.3.5.7.13 ed inoltre,ponendo $N=n^{13}-n$,possiamo scrivere che:
a)$N=n(n^{12}-1)$
b)$N=n(n^2-1)(n^2+1)(n^8+n^2+1)$
c)$N=n(n^4-1)(n^8+n^4+1)$
d)$N=n(n^6-1)(n^6+1)$
Allora:
1)N e' divisibile per 2 poiche' dei due fattori della (a) uno e' certamente pari
2)N e' divisibile per 3 perche' o lo e' n e quindi anche N oppure ,se n e' primo con 3,per Fermat
si ha $n^2 \equiv 1(3)$ e quindi per la (b) 3|N
3)N e' divisibile per 5 perche' o lo e' n e quindi anche N oppure ,se n e' primo con 5,per Fermat si ha $n^4 \equiv 1(5)$ e quindi per la (c) 5|N
4)N e' divisibile per 7 perche' o lo e' n e quindi anche N oppure ,se n e' primo con 7,per Fermat si ha $n^6 \equiv 1(7)$ e quindi per la (d) 7|N
5)N e' divisibile per 13 perche' o lo e' n e quindi anche N oppure ,se n e' primo con 13,per Fermat si ha $n^{12} \equiv 1(13)$ e quindi per la (a) 13|N
Leandro
Ultima modifica di leandro il ven mar 24, 2006 9:51 am, modificato 2 volte in totale.
Son d'accordo con Pasquale... qualsiasi ulteriore considerazione sarebbe
superflua
superflua
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
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Ciao a tutti,
Complimenti Leandro, dimostrazioni fulminanti! Mi inchino di fronte al Maestro!
Posto anch'io le mie soluzioni.
$2425^n-485^n-30^n+6^n =$
$(5^n-1)(485^n-6^n)$
$(5^n-1)$ è divisibile per 5-1=4
$(485^n-6^n)$ è divisibile per 485-6=479
Toh, che coincidenza!
479*4=1916
------------
A puro titolo di curiosità riporto la mia soluzione del secondo problema.
2730=2*3*5*7*13
$n^{13}-n=n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)(n^6+1)$
a) $n^{13}-n$ è divisibile per 13 (Fermat)
b) $n^{13}-n$ è divisibile per 10=2*5 (dimostrato in questo forum pochi giorni fa)
c) $n(n-1)(n+1)$ è divisibile per 3 (ovvio)
d) $(n^2+n+1)(n^2-n+1)$ è divisibile per 7 (segue dimostrazione)
Gli unici casi in cui bisogna dimostrarlo sono:
$n MOD 7 = 2, 3, 4, 5$
rispettivamente:
$n^2 MOD 7 = 4, 2, 2, 4$
Applicato a: $(n^2+n+1)(n^2-n+1)$
si ha rispettivamente:
$(4+2+1)(4-2+1)= 0 (MOD 7)$
$(2+3+1)(2-3+1)= 0 (MOD 7)$
$(2+4+1)(2-4+1)= 0 (MOD 7)$
$(4+5+1)(4-5+1)= 0 (MOD 7)$
Questo Tex mi fa venire in mente Tex Willer.
That's All Folks.
Gianfranco
Complimenti Leandro, dimostrazioni fulminanti! Mi inchino di fronte al Maestro!
Posto anch'io le mie soluzioni.
$2425^n-485^n-30^n+6^n =$
$(5^n-1)(485^n-6^n)$
$(5^n-1)$ è divisibile per 5-1=4
$(485^n-6^n)$ è divisibile per 485-6=479
Toh, che coincidenza!
479*4=1916
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A puro titolo di curiosità riporto la mia soluzione del secondo problema.
2730=2*3*5*7*13
$n^{13}-n=n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)(n^6+1)$
a) $n^{13}-n$ è divisibile per 13 (Fermat)
b) $n^{13}-n$ è divisibile per 10=2*5 (dimostrato in questo forum pochi giorni fa)
c) $n(n-1)(n+1)$ è divisibile per 3 (ovvio)
d) $(n^2+n+1)(n^2-n+1)$ è divisibile per 7 (segue dimostrazione)
Gli unici casi in cui bisogna dimostrarlo sono:
$n MOD 7 = 2, 3, 4, 5$
rispettivamente:
$n^2 MOD 7 = 4, 2, 2, 4$
Applicato a: $(n^2+n+1)(n^2-n+1)$
si ha rispettivamente:
$(4+2+1)(4-2+1)= 0 (MOD 7)$
$(2+3+1)(2-3+1)= 0 (MOD 7)$
$(2+4+1)(2-4+1)= 0 (MOD 7)$
$(4+5+1)(4-5+1)= 0 (MOD 7)$
Questo Tex mi fa venire in mente Tex Willer.
That's All Folks.
Gianfranco
...sbagliato tutto!Bruno ha scritto:...qualsiasi ulteriore considerazione sarebbe superflua
E qui di Maestri ce ne sono almeno 2!
Grazie, Gianfranco, di averci mostrato la tua proposta
(Bruno)
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{Rudi Mathematici}
OK: in sostanza abbiamo visto che questo tipo di problema si risolve trasformando l'espressione iniziale in un prodotto. Inoltre, a Gianfranco vorrei far sommessamente osservare che nelle ultime 4 righe non c'era bisogno di
usare il tex (bang, bang)
.....a proposito degli spropositi, avete visto qualche crocetta in giro ultimamente?
usare il tex (bang, bang)
.....a proposito degli spropositi, avete visto qualche crocetta in giro ultimamente?
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
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