N coppie di punti diametralmente opposti vengono scelti su una circonferenza di raggio unitario e viene definita diagonale ogni segmento che unisce due qualsiasi punti, appartenenti o meno alla stessa coppia.
Dimostrare che la somma dei quadrati di tutte le diagonali dipende solo da N.

Consideriamo una singola coppia di punti diametralmente opposti, che possiamo indicare con $(1_{\small1},1_{\small2})$;
questa coppia divide la circonferenza in 2 parti uguali (in 2 semicirconferenze, che possiamo chiamare $C_{\small1}$ e $C_{\small2}$);
essendo le restanti $N-1$ coppie di punti, diametralmente opposte, vuol dire che $N-1$ punti si troveranno su $C_{\small1}$ ed $N-1$ punti su $C_{\small2}$.



Cominciamo col considerare tutte le diagonali che uniscono i punti di una semicirconferenza, supponiamo $C_{\small1}$ (compreso la coppia che delimita la semicirconferenza);
queste diagonali corrispondono esattamente ai lati di tutti i triangoli inscritti nella semicirconferenza che si possono ricavare utilizzando come vertici fissi la coppia iniziale di punti $(1_{\small1},1_{\small2})$ e come 3° vertice uno degli $N-1$ punti presenti sulla semicirconferenza.
Questi triangoli inscritti sono quindi esattamente $N-1$;
ora sappiamo che un triangolo inscritto in una semicirconferenza (il lato più lungo corrisponde al diametro) è rettangolo (angolo al centro (180°) è uguale a 2 volte angolo alla circonferenza; che quindi è 90°);
quindi, sempre in relazione alla semicirconferenza $C_{\small1}$, la somma dei quadrati delle diagonali, corrisponde alla somma dei quadrati dei 2 cateti degli N-1 triangoli rettangoli inscritti nella semicirconferenza + il quadrato del diametro $d$ che fa da ipotenusa per tutti gli $N-1$ triangoli.
Applicando il teorema di Pitagora si ha che la somma dei quadrati dei 2 cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato dell'ipotenusa (il diametro $d$); quindi $d^2$; (il punto chiave della dimostrazione è proprio questo, e cioè il fatto che anche spostando i punti sulla circonferenza la somma dei quadrati è sempre $d^2$ e quindi non dipende dalla posizione dei punti sulla circonferenza, ma solo dal loro numero) quindi la somma dei quadrati di tutte le diagonali possibili nella semicirconferenza $C_{\small1}$ è pari a $d^2\cdot (N-1)+d^2=d^2\cdot N$.
La situazione è simmetrica per la semicirconferenza $C_{\small2}$ con la differenza che non dobbiamo considerare il quadrato del diametro $d$ dato che l'abbiamo già considerato nell'analisi della semicirconferenza $C_{\small1}$;
per cui per $C_{\small2}$, si ha che la somma dei quadrati di tutte le diagonali possibili è:
$d^2\cdot(N-1)$;

Quindi la somma delle due somme sopra calcolate relative alle semicirconferenze $C_{\small1}$ e $C_{\small2}$ è pari a $d^2\cdot N+d^2\cdot(N-1)= d^2\cdot (2N-1)$ e ci dà la somma dei quadrati di tutte le diagonali connesse con la coppia di punti iniziale $(1_{\small1},1_{\small2})$; ripetendo l'operazione per tutte le $N$ coppie di punti si ottiene la somma totale dei quadrati di tutte le diagonali che è pari a:

$d^2\cdot (2N-1)\cdot N$

essendo il raggio unitario, si ha $d=2$, per cui la somma totale diventa:

$4\cdot (2N-1)\cdot N=8N^2-4N$

che dipende unicamente da $N$ e (come ho indicato sopra) non dalla posizione dei punti sulla circonferenza.

Ciao
Admin

Va bene Pietro, hai individuato la chiave del problema, ma dai miei calcoli (salvo errori) risulta $4N^2$.

Diciamo che N coppie di punti individuano N diametri e 2N punti sulla circonferenza:
tutte le diagonali possibili sono $\frac{2N(2N-1)}{2} = 2N^2 - N$, delle quali N sono diametri e $2N^2 - 2N$ sono cateti, o meglio $N^2 - N$ coppie di cateti appartenenti a triangoli rettangoli aventi tutti come ipotenusa un diametro.
Quindi abbiamo da calcolare la somma di $N^2 - N$ quadrati di diametro e di N quadrati di diametro, per un totale di $4(N^2 - N) + 4N = 4N^2$

Comunque ho verificato positivamente con 3 e 4 coppie di punti.

Da notare che quando si calcola il numero di diagonali esistenti, sottraendo da queste il numero di diametri, il risultato è sempre pari ($2N^2 - 2N$), per cui esistono sempre le coppie di cateti necessarie per formare triangoli rettangoli

Forse interpreto male il quesito ma mi trovo anch'io 4n^2 come risultato finale.Ecco il procedimento.
Fissato nel piano della circonferenza un riferimento polare di polo il centro O
della medesima e come asse polare una qualsiasi retta diametrale,i punti
Zi sulla circonferenza saranno:
A) $(1,\phi_1),(1,\phi_2),...,(1,\phi_n)$
B)$(1,\phi_1+\pi),(1,\phi_2+\pi),...,(1,\phi_n+\pi)$
dove i punti dell'insieme A sono n punti e quelli di B sono i loro
diametralmente opposti.
Ora il quadrato della distanza tra due punti Zi e Zj e' (*=prodotto scalare):
$|Z_i-Z_j|^2=(Z_i-Z_j)*(Z_i-Z_j)=|Z_i|^2+|Z_j|^2-2Z_i*Z_j=$
$=2-2\cos(\phi_i-\phi_j)=4\sin^2(\frac{\phi_i-\phi_j}{2})$
A questo punto le possibili distanze sono:
1) quelle tra un punto di A e quelli che lo seguono in A medesimo.Esse sono in
numero di n(n-1)/2 e la somma dei loro quadrati,per la formula precedente,e':
$S_1=4\sum_{j=i+1}^n\sum_{i=1}^{n-1}\sin^2(\frac{\phi_i-\phi_j}{2})$
2) quelle analoghe in B :
$S_2=4\sum_{j=i+1}^n\sum_{i=1}^{n-1}\sin^2(\frac{\phi_i-\phi_j}{2})$
3)quelle tra un punto di A e uno di B.Tali distanze sono in numero di n^2
di cui n sono diametri e le rimanenti n^2-n hanno per somma dei loro
quadrati la seguente formula:
$S_3= \sum_{j=1,j \neq i}^n \sum_{i=1}^n 4\sin^2[\frac{\phi_i-\phi_j}{2}+\frac{\pi}{2}]$
ovvero:
$S_3=4 \sum_{j=1,j\neq i}^n \sum_{i=1}^n \cos^2(\frac{\phi_i-\phi_j}{2})$
dove non si considerano i casi j=i perche' sono quelli corrispondenti ai diametri.
Pertanto la somma totale sara':
$S=S_1+S_2+S_3+4n$
Cioe':
$S=8\sum_{j=i+1}^n\sum_{i=1}^{n-1}\sin^2(\frac{\phi_i-\phi_j}{2})+4\sum_{j=1,j\neq i}^n\sum_{i=1}^n\cos^2(\frac{\phi_i-\phi_j}{2})+4n$
Espandendo le sommatorie e tenendo conto della nota identita' trigonometrica
$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, si ha in definitiva: $S=4n^2$
Il risultato sembra confermato se,ad esempio, si prendono come punti i vertici
del quadrato o dell'esagono regolare inscritti nella circonferenza.
Leandro

Si, avete ragione;
per la fretta ho moltiplicato semplicemente per $N$ il risultato ottenuto in relazione alla singola coppia di punti $(1_{\small1},1_{\small2})$.
In realtà così facendo ho conteggiato varie diagonali più volte.

Riporto il mio ragionamento rivisto e corretto:

la somma dei quadrati di tutte le diagonali connesse con la coppia di punti iniziale $(1_{\small1},1_{\small2})$ è pari a $d^2\cdot N+d^2\cdot(N-1)= d^2\cdot (2N-1)$;
a questo punto questo risultato non va moltiplicato per $N$;
in pratica, considerando la coppia di punti $(2_{\small1},2_{\small2})$, le connessioni ancora non conteggiate le otteniamo considerando $N-2$ punti per ogni semicirconferenza e non $N-1$, inquanto le connessioni relative alla coppia di punti $(1_{\small1},1_{\small2})$ sono già state conteggiate in precedenza.
Quindi per la coppia di punti $(2_{\small1},2_{\small2})$ si ha che la somma dei quadrati di tutte le diagonali connesse con essa ed ancora non conteggiate è pari a $d^2\cdot (N-1)+d^2\cdot(N-2)= d^2\cdot (2N-3)$.
Proseguendo, considerando la coppia di punti $(3_{\small1},3_{\small2})$, le connessioni ancora non conteggiate le otteniamo considerando $N-3$ punti per ogni semicirconferenza, inquanto le connessioni relative alla coppie di punti $(1_{\small1},1_{\small2})$ e $(2_{\small1},2_{\small2})$ sono già state conteggiate in precedenza.
Quindi per la coppia di punti $(3_{\small1},3_{\small2})$ si ha che la somma dei quadrati di tutte le diagonali connesse con essa ed ancora non conteggiate è pari a $d^2\cdot (N-2)+d^2\cdot(N-3)= d^2\cdot (2N-5)$.

La somma totale per le N coppie è dunque:

$\displaystyle\sum_{i=0}^{N-1}[d^2(2N-1-2i)]=\sum_{i=0}^{N-1}[d^2(2N-1)-d^2(2i)]=\sum_{i=0}^{N-1}[d^2(2N-1)]-2d^2\sum_{i=0}^{N-1}i=\\d^2(2N-1)\cdot N -2d^2\cdot\frac{(N-1)\cdot N}{2}=d^2(2N^2-N)-d^2(N^2-N)$

essendo $d=2$ si ottiene:

$8N^2-4N-4N^2+4N=4N^2.$

Excuse me for the mistake.

Admin

Ciao a tutti,

Leandro e Pietro, mi sembra che mettiate in campo delle formule tremende per un problema che può essere spiegato con ragionamenti più semplici ed immediati.

E per di più a me è venuto un altro risultato! (ma potrei sbagliare)

Ecco il mio ragionamento.

a) in un poligono di $N$ vertici, il numero delle diagonali (compresi i lati) è l'$N-esimo$ numero triangolare, cioè:
$N(N-1)/2$

b) nella situazione presentata da Pasquale. abbiamo che: (chiamo $r$ il raggio)

- $N$ è pari
- $N/2$ diagonali sono diametri = $2r$
- le altre $(N^2)/2-N$ diagonali possono essere raggruppate a coppie la somma dei cui quadrati sia $4r^2$ (per i motivi descritti da Pietro).

c) quindi la somma di tutti i quadrati delle diagonali (compresi i lati) è:

Somma = $(N/2)4r^2+[(N^2)/4-N/2]4r^2$
Semplificando:

Somma = $N^2 r^2$

Se il raggio è unitario:
Somma = $N^2$

Gianfranco

Ciao Gianfranco,
come sempre impeccabile, la tua dimostrazione è semplice ed elegante;

sinceramente, non sapevo che in un poligono di $N$ vertici, il numero complessivo di diagonali e lati è l'$N\text -esimo$ numero triangolare, cosa che peraltro è implicitamente dimostrate nel mio messaggio precedente.

Comunque le mie non mi sembrano poi formule tanto tremende;
ho voluto scrivere per intero lo sviluppo della sommatoria, ma alla fine il calcolo più impegnativo è la somma dei numeri da $1$ ad $N-1$ (che è proprio l'$N\text-esimo$ numero triangolare).

A te non viene $4N^2$ perchè devi partire da $2N$;
infatti $N$ sono le coppie di punti; i punti totali sono $2N$.

... quanti spunti da questo problema proposto da Pasquale.

Ciao
Admin

Gianfrà, il tuo risultato non è diverso, perché tu hai chiamato N i vertici, mentre noi li abbiamo chiamati 2N, per cui il tuo $N^2$, per noi diventa $4N^2$.

Ciao a tutti,

chiedo scusa, avete ragione.

Purtroppo ho sempre pochissimo tempo e faccio le cose troppo in fretta.
Avevo capito benissimo che N erano le coppie, ma poi mi tornava più comodo considerare il numero n dei vertici singoli.
Alla fine ho scritto tutte le n maiuscole e stupidamente mi sono dimenticato della posizione iniziale del problema.

Pietro, ho usato la parola "tremende" in senso simpatico!

Ma voi quanto tempo avete da dedicare al Forum?
Siete velocissimi e riuscite a inviare molti messaggi e tutti di qualità!

Io seguo il Forum tutti i giorni ma non riesco a star dietro a tutte le discussioni. A volte preparo delle risposte ma quando arrivo mi accorgo che qualcuno le ha già postate.

Ciao

Gianfranco

.......è una corsa all'ultimo sangue!!!!!

Gianfranco ha scritto:(...) Io seguo il Forum tutti i giorni ma non riesco a star dietro a tutte le discussioni. A volte preparo delle risposte ma quando arrivo mi accorgo che qualcuno le ha già postate.

...idem

(Ma altre volte, in realtà, non so proprio come affrontare certe questioni...)

Pasquale ha scritto:.......è una corsa all'ultimo sangue!!!!!

...io ne ho invero pochino, di fiato e di sangue...