Sinchè non esce 1

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franco
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Sinchè non esce 1

Messaggio da franco »

Lanciamo ripetutamente un dado sommando i punteggi ottenuti sinchè non esce 1.
Qual è la speranza matematica del punteggio totale ottenuto?

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Franco

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Pasquale
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Re: Sinchè non esce 1

Messaggio da Pasquale »

Una simulazione mi dà una media di 21.
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$\text { }$ciao Immagine ciao
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franco
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Re: Sinchè non esce 1

Messaggio da franco »

Il testo originale del problema è questo:

On jette un dé et on renouvelle l'opération tant que le dé ne tombe pas sur le un, en totalisant les points obtenus à chaque coup.
a) quelle est l'espérance mathématique du nombre de coups ?
b) quelle est l'espérance mathématique du total obtenu ?


La prima domanda, sulla speranza matematica del numero di lanci, l'ho omessa perchè mi sembrava veramente banale: la probabilità di fare UNO è 1/6 quindi mi sembra evidente che mediamente si debbano fare 6 lanci ...

Peraltro è anche intuitivo il fatto che il punteggio medio che ottengo lanciando un dado sia 3,5; di conseguenza mi aspetto che con 6 lanci la somma dei punteggi sia mediamente 6x3,5=21 (e anche la simulazione di Pasquale lo conferma).

L'unica cosa che mi lascia perplesso è il fatto che nel sito il problema sia classificato con 3 stelle (mediamente difficile).
Forse non ho compreso il significato di "speranza matematica"?
Franco

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panurgo
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Re: Sinchè non esce 1

Messaggio da panurgo »

franco ha scritto:
gio mar 19, 2020 8:05 am
Peraltro è anche intuitivo il fatto che il punteggio medio che ottengo lanciando un dado sia 3,5; di conseguenza mi aspetto che con 6 lanci la somma dei punteggi sia mediamente 6x3,5=21 (e anche la simulazione di Pasquale lo conferma)
In realtà, ogni numero esce in media una volta: $1+2+3+4+5+6=21$.
franco ha scritto:
gio mar 19, 2020 8:05 am
Forse non ho compreso il significato di "speranza matematica"?
Forse si diventa più agili con l'esercizio :wink:. Comunque: una stella, forse...
il panurgo

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Pasquale
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Re: Sinchè non esce 1

Messaggio da Pasquale »

Potremmo dire che la speranza possa riferirsi al miglior punteggio possibile?
Se così fosse, il miglior punteggio lo ottiene una qualsiasi delle 6 facce del dado, se esce per ultima, e tale punteggio è 21.
Dunque, ripetendo una serie di 6 lanci per un numero di volte abbastanza significativo, ogni faccia del dado ha la stessa speranza di essere sortita per ultima, realizzando così il sospirato massimo punteggio possibile (21).
Se il gioco si fosse fermato ad un solo lancio, tutte le facce avrebbero avuto egualmente la stessa probabilità di essere sortita per prime, ma solo il 6 avrebbe conseguito il massimo punteggio (cioè la buona speranza).
In realtà, tutte le facce possono ottenere lo stesso massimo punteggio, soltanto se sortite al sesto lancio: non esiste altro punteggio conseguibile egualmente per tutte le facce con un numero di lanci inferiore a 6, che possa essere definita come buona speranza.
Quindi, penso che per speranza debba intendersi il massimo punteggio conseguibile e pertanto la risposta era insita nel testo stesso, al momento che riferiva tale speranza proprio alla faccia dell'1 che è il punteggio minore: la speranza dell'1 era quella più evidente, cioè di essere sortito per ultimo, ma ogni altra faccia può essere sortita per ultima e quindi tutte avevano la stessa speranza nel lungo periodo.
Se io facessi una nuova simulazione, ad esempio per il 3, sono sicuro che il risultato sarebbe lo stesso, per cui non la faccio, nel senso che il quesito può essere considerato quasi una burla, nel senso che non v'era bisogno di fare alcun calcolo per tirar fuori un numero. La risposta al quesito, senza nulla calcolare avrebbe potuto essere: "La speranza è la stessa di ogni altra faccia del dado, perché tutte hanno la stessa probabilità di essere sortite al 6° lancio".
In definitiva, se per speranza possiamo intendere il miglior punteggio, la migliore speranza su un numero di lanci inferiori a 6, ce l'ha solo la faccia del 6.
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Pasquale
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Re: Sinchè non esce 1

Messaggio da Pasquale »

A quanto sopra, aggiungo il programmino di simulazione, in cui alla riga 20, attribuendo alla x qualsiasi valore fra 1 e 6, avremo sempre 21 come risultato . Immaginando inoltre un dado da 7 facce e sostituendo quindi il 6 col 7 alla riga 10, otterremo sempre il risultato di 28 come nuova speranza, qualunque sia il valore fra 1 e 7 attribuito alla x in riga 20.
Con 8, avremo una speranza di 36, ecc.

RANDOMIZE
LET cont1=0
FOR m=1 TO 1000000
LET cont2=0
DO
10 LET x=1+INT(RND*6)
LET cont2=cont2+x
20 IF x=1 THEN EXIT DO
LOOP
LET cont1=cont1+cont2
NEXT M
PRINT "speranza =";ROUND(cont1/1000000)
END
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