Il numero $\; 196364269 \;$ è un quadrato perfetto?
Naturalmente, bisognerebbe giustificare la risposta...
Può essere, non può essere?
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Può essere, non può essere?
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Il numero $\; 196364269 \;$ è un quadrato perfetto?
Naturalmente, bisognerebbe giustificare la risposta...
Il numero $\; 196364269 \;$ è un quadrato perfetto?
Naturalmente, bisognerebbe giustificare la risposta...
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
espongo il mio ragionamento (chi mi conosce sa che amo solo "il più e il per")
1) la radice è di poco superiore a 14.000 perchè 14000 al quadrato fa 196milioni
2) per ogni "1" in più il quadrato cresce di 28.001 ; 28.003 ;28.005;...
3) per fare un calcolo ad occhio, la quantità da aggiungere a 14mila è di poco superiore a 10 ; e dovendo finire per 9 , l'unico candidato è 13 (17 è troppo)
4) 28mila per 13 fa 280mila + 84mila = 364mila
5) sembra che quasi ci siamo....
6) 13 per 13 ?
7) delusione !!!!!
1) la radice è di poco superiore a 14.000 perchè 14000 al quadrato fa 196milioni
2) per ogni "1" in più il quadrato cresce di 28.001 ; 28.003 ;28.005;...
3) per fare un calcolo ad occhio, la quantità da aggiungere a 14mila è di poco superiore a 10 ; e dovendo finire per 9 , l'unico candidato è 13 (17 è troppo)
4) 28mila per 13 fa 280mila + 84mila = 364mila
5) sembra che quasi ci siamo....
6) 13 per 13 ?
7) delusione !!!!!
Enrico
...
Grande Enrico!
Un altro modo per dimostrare la cosa?
Grande Enrico!
Un altro modo per dimostrare la cosa?
(Bruno)
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e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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{Rudi Mathematici}
In una moltiplicazione, per quanto riguarda l'ultima cifra, le ultime 2 cifre, le ultime 3 cifre e così via, il risultato dipende rispettivamente dal prodotto delle ultime cifre, delle ultime 2 cifre, o delle ultime 3 cifre e via dicendo del moltiplicando e del moltiplicatore.
Nel caso specifico moltiplicando e moltiplicatore coincidono e non esiste un numero di 3 cifre il cui quadrato abbia come ultime 3 cifre 269.
Naturalmente non bisogna provare tutti i numeri di 3 cifre: l'ultima cifra (9) può essere generata dal quadrato di 3 o 7; ma le ultime 2 cifre (69) solo dal quadrato di 13 e per quanto concerne le ultime 3 cifre:
013^2=0169
113^2=..769
213^2=..369
313^2=..969
413^2=..569
513^2=..169
.
.
.
si ripete il ciclo e non esiste un 269 finale.
Nel caso specifico moltiplicando e moltiplicatore coincidono e non esiste un numero di 3 cifre il cui quadrato abbia come ultime 3 cifre 269.
Naturalmente non bisogna provare tutti i numeri di 3 cifre: l'ultima cifra (9) può essere generata dal quadrato di 3 o 7; ma le ultime 2 cifre (69) solo dal quadrato di 13 e per quanto concerne le ultime 3 cifre:
013^2=0169
113^2=..769
213^2=..369
313^2=..969
413^2=..569
513^2=..169
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si ripete il ciclo e non esiste un 269 finale.
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$\text { }$ciao
ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
...oppure 37, 63, 87Pasquale ha scritto:(...) ma le ultime 2 cifre (69) solo dal quadrato di 13
Ti ho forse capito male, Pasquale?
(Bruno)
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Ma no, hai capito bene...distrattamente mi sono sfuggiti: bisogna allungare il lavoro e provare i quadrati di 137,237...163,263...187,287.... per verificare che nessuno termina con 269. Grazie per la correzione.
Quasi, quasi, come prima opzione farei la radice di 196364269 (a mano), verificando che non è intera.
Quasi, quasi, come prima opzione farei la radice di 196364269 (a mano), verificando che non è intera.
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
anziché estrarre a mano la radice, elevo a mano al quadrato ottenendo
$14013^2=196364169 < 196364269 < 14014^2=196392196$
$14013^2=196364169 < 196364269 < 14014^2=196392196$
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Gianfranco
- Supervisore del sito
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- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Ciao a tutti,
Vi propongo una dimostrazione che si può fare tutta "a mente".
Dimostro per assurdo che un quadrato non può terminare per 269.
Suppongo per assurdo che:
$x^2=1000b+269$
Ci sono due casi.
x può essere scritto:
1° caso: $x=10a+3$
2° caso: $x=10a+7$
1° caso---------------
Elevo x al quadrato:
$x^2=100a^2+60a+9$
Deve valere la seguente uguaglianza
$100a^2+60a+9=1000b+269$
Semplifico:
$a(5a+3)=50b+13$
Osservo che:
$a(5a+3)$ è sempre un numero pari perché uno dei due fattori è sempre pari
$50b+13$ è sempre un numero dispari
Dunque la contraddizione.
2° caso---------------
Elevo x al quadrato:
$x^2=100a^2+140a+49$
Deve valere la seguente uguaglianza
$100a^2+140a+49=1000b+269$
Semplifico:
$a(5a+7)=50b+11$
Osservo che:
$a(5a+7)$ è sempre un numero pari perché uno dei due fattori è sempre pari
$50b+11$ è sempre un numero dispari
Dunque la contraddizione.
C.V.D.
Salvo errori ed omissioni.
Ciao
Gianfranco
Vi propongo una dimostrazione che si può fare tutta "a mente".
Dimostro per assurdo che un quadrato non può terminare per 269.
Suppongo per assurdo che:
$x^2=1000b+269$
Ci sono due casi.
x può essere scritto:
1° caso: $x=10a+3$
2° caso: $x=10a+7$
1° caso---------------
Elevo x al quadrato:
$x^2=100a^2+60a+9$
Deve valere la seguente uguaglianza
$100a^2+60a+9=1000b+269$
Semplifico:
$a(5a+3)=50b+13$
Osservo che:
$a(5a+3)$ è sempre un numero pari perché uno dei due fattori è sempre pari
$50b+13$ è sempre un numero dispari
Dunque la contraddizione.
2° caso---------------
Elevo x al quadrato:
$x^2=100a^2+140a+49$
Deve valere la seguente uguaglianza
$100a^2+140a+49=1000b+269$
Semplifico:
$a(5a+7)=50b+11$
Osservo che:
$a(5a+7)$ è sempre un numero pari perché uno dei due fattori è sempre pari
$50b+11$ è sempre un numero dispari
Dunque la contraddizione.
C.V.D.
Salvo errori ed omissioni.
Ciao
Gianfranco
... è proprio bello poter apprezzare su uno stesso problema
diversi percorsi risolutivi
A me è capitato di ragionare come Gianfranco (wow!), estendendo la
dimostrazione e stabilendo così un teoremino che può essere
affiancato a quelli di Rafael Bombelli sul riconoscimento dei numeri
quadrati (ved. qui).
Si tratta di questo:
Se la penultima cifra di un quadrato dispari è 6, la terz'ultima dev'essere
dispari.
Grazie!
diversi percorsi risolutivi
A me è capitato di ragionare come Gianfranco (wow!), estendendo la
dimostrazione e stabilendo così un teoremino che può essere
affiancato a quelli di Rafael Bombelli sul riconoscimento dei numeri
quadrati (ved. qui).
Si tratta di questo:
Se la penultima cifra di un quadrato dispari è 6, la terz'ultima dev'essere
dispari.
Grazie!
(Bruno)
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Yesss... puntualissima, doverosa precisazionePasquale ha scritto:(...) se nel numero N la penultima è 6 e la terzultima è dispari, non sappiamo a prima vista se N è un quadrato.
(Bruno)
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{Rudi Mathematici}
...non credere, so anche essere un avventore mooolto distrattoPasquale ha scritto:......naturalmente non era per te, ma per eventuali distratti avventori.
(Bruno)
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