Una grande radice
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Una grande radice
...
Qual è il più grande dei numeri $\displaystyle \; \sqr{2},\; \sqr[3]{3},\; \sqr[4]{4},\; \sqr[5]{5},\; \cdots \; \sqr[n]{n},\; \cdots \;$ ?
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Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)
Qual è il più grande dei numeri $\displaystyle \; \sqr{2},\; \sqr[3]{3},\; \sqr[4]{4},\; \sqr[5]{5},\; \cdots \; \sqr[n]{n},\; \cdots \;$ ?
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e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)
E' presa dal Ghersi per caso?Io la dimostrazione ce l'ho(non la posto perché non é farina del mio sacco),ma siccome non l'ho capita sarei felice di leggerla nella forma chiara e comprensibile tipica di Bruno.Aspetto con ansia.
Scusate l'off topic.
Saluti,
Zerinf
_________________
Voglio tutto!Per favore...
(Io)
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\;\int_{0}^{\infty}\;\prod_{k=0}^{\infty}\;\lim_{0\to\infty}=Zerinfinito...$
Scusate l'off topic.
Saluti,
Zerinf
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Voglio tutto!Per favore...
(Io)
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\;\int_{0}^{\infty}\;\prod_{k=0}^{\infty}\;\lim_{0\to\infty}=Zerinfinito...$
...
Ciao, caro 0-§.
No, non ho preso questo problema da Ghersi.
fedele a una condotta che mi piace molto: in quanto proponente, aspetterò
che arrivino le soluzioni degli eventuali basecinquini interessati, prima di proporre
la mia (sempre che la ritenga ancora un pochino meritevole).
E so aspettare...
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e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)
Ciao, caro 0-§.
No, non ho preso questo problema da Ghersi.
Ti ringrazio per la fiducia e l'apprezzamento, ma ho intenzione di mantenermisarei felice di leggerla nella forma chiara e comprensibile tipica di Bruno...
fedele a una condotta che mi piace molto: in quanto proponente, aspetterò
che arrivino le soluzioni degli eventuali basecinquini interessati, prima di proporre
la mia (sempre che la ritenga ancora un pochino meritevole).
E so aspettare...
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Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)
Arieccomi!
Strano che non sia del Ghersi,io pensavo che fosse un problema ignoto ai più.
Vedremo.Intanto,saluti!
O-esse
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Voglio tutto!Per favore...
(Io)
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\;\int_{0}^{\infty}\;\prod_{k=0}^{\infty}\;\lim_{0\to\infty}=Zerinfinito...$
Sì,beh,era sottinteso che bisognava attendere eventuali solutori.Anch'io aspetterò...Ti ringrazio per la fiducia e l'apprezzamento, ma ho intenzione di mantenermi
fedele a una condotta che mi piace molto: in quanto proponente, aspetterò
che arrivino le soluzioni degli eventuali basecinquini interessati, prima di proporre
la mia (sempre che la ritenga ancora un pochino meritevole).
E so aspettare...
Strano che non sia del Ghersi,io pensavo che fosse un problema ignoto ai più.
Vedremo.Intanto,saluti!
O-esse
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Voglio tutto!Per favore...
(Io)
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\;\int_{0}^{\infty}\;\prod_{k=0}^{\infty}\;\lim_{0\to\infty}=Zerinfinito...$
0-§ ha scritto:
Strano che non sia del Ghersi,io pensavo che fosse un problema ignoto ai più...
...sicuramente lo conoscevano già gli studenti che andavano alle superiori un secolo fa!
L'ho preso da una rivista dell'epoca
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e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)
Strano che non sia del Ghersi,io pensavo che fosse un problema ignoto ai più...
...sicuramente lo conoscevano già gli studenti che andavano alle superiori un secolo fa!
L'ho preso da una rivista dell'epoca
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Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)
Dunque,
portando tutti i numeri da confrontare allo stesso grado di radice, si tratta di confrontare poi i radicandi;
ad es. se prendiamo $\sqr[5]{5}$ e $\sqr[6]{6}$ si ha, uguagliando il grado
$\sqr[30]{5^6}$ e $\sqr[30] {6^5}$
Ora, calcolatrice alla mano, si verifica facilmente che il radicando di un numero è superiore a quello del numero immediatamente successivo, eccetto che per i primi due numeri $\sqr{2}$ e $\sqr[3]{3}$ per i quali si ha:
$\sqr[6]{2^3}\quad(x+1)^x\quad\quad \forall \quad x>2$
Si potrebbe provare a dimostrarlo, ma forse la tua dimostrazione Bruno è più semplice.
Fammi sapere
Admin
_________________
Pietro Vitelli
(Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
portando tutti i numeri da confrontare allo stesso grado di radice, si tratta di confrontare poi i radicandi;
ad es. se prendiamo $\sqr[5]{5}$ e $\sqr[6]{6}$ si ha, uguagliando il grado
$\sqr[30]{5^6}$ e $\sqr[30] {6^5}$
Ora, calcolatrice alla mano, si verifica facilmente che il radicando di un numero è superiore a quello del numero immediatamente successivo, eccetto che per i primi due numeri $\sqr{2}$ e $\sqr[3]{3}$ per i quali si ha:
$\sqr[6]{2^3}\quad(x+1)^x\quad\quad \forall \quad x>2$
Si potrebbe provare a dimostrarlo, ma forse la tua dimostrazione Bruno è più semplice.
Fammi sapere
Admin
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Pietro Vitelli
(Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
Una dimostrazione che si ferma alla conoscenza del numero e e' la seguente.
Abbiamo:
$\frac{\sqrt[n+1]{n+1}}{\sqrt[n](n)}=\sqrt[n(n+1)]{\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}}=\sqrt[n(n+1)]{(1+\frac{1}{n})^n\frac{1}{n}}<\sqrt[n(n+1)]{\frac{3}{n}}$Pertanto se $n\geq3$ risulta:$\frac{\sqrt[n+1]{n+1}}{\sqrt[n]{n}}<1$ e cio' prova che la successione e' strettamente decrescente a partire dal secondo termine.
Il valore piu' grande e' dunque $\sqrt[3]3$ .
Leandro
Abbiamo:
$\frac{\sqrt[n+1]{n+1}}{\sqrt[n](n)}=\sqrt[n(n+1)]{\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}}=\sqrt[n(n+1)]{(1+\frac{1}{n})^n\frac{1}{n}}<\sqrt[n(n+1)]{\frac{3}{n}}$Pertanto se $n\geq3$ risulta:$\frac{\sqrt[n+1]{n+1}}{\sqrt[n]{n}}<1$ e cio' prova che la successione e' strettamente decrescente a partire dal secondo termine.
Il valore piu' grande e' dunque $\sqrt[3]3$ .
Leandro
-
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- Iscritto il: mer apr 20, 2005 3:47 pm
- Località: Benevento
Fine recupero.
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
"Un matematico è una macchina che converte caffè in teoremi" Paul Erdös
www.pvitelli.net
Non so se sia la più semplice, comunque ho proceduto così.Pietro ha scritto:ma forse la tua dimostrazione Bruno è più semplice.
...e così ho riscritto questa disuguaglianza come segue, dovendo ricondurre lePietro ha scritto:(...) eccetto che per i primi due numeri $\sqr{2}$ e $\sqr[3]{3}$ per i quali si ha:
$\sqr[6]{2^3}\quad(x+1)^x\quad\quad \forall \quad x>2$
mie valutazioni a $\, {\text \footnotesize \sqr[3]{3}\,>\,\sqr[m]{m}}$ per $\,{\text \footnotesize m\,>\,3}$:
1) $\; 3^{(3+t)} \, > \, (3+t)^3 ,\;$ con $t\,\ge\,1$
Per t=1 la disuguaglianza è sicuramente verificata: $\;{\text \footnotesize3^4=81 > 4^3=64}$.
Suppongo quindi che la (1) sia vera fino a un certo $n$:
$3^{(3+n)} \, > \, (3+n)^3$
e moltiplico entrambi i membri per 3:
$3\cdot 3^{(3+n)} = 3^{(4+n)} \, > \, 3\cdot (3+n)^3 = 81+81n+27n^2+3n^3 = (4+n)^3 +17+33n+15n^2+2n^3.$
Poiché l'espressione ${\text \footnotesize 17+33n+15n^2+2n^3}$ corrisponde a un numero positivo,
se la eliminassi rafforzerei senz'altro la disuguaglianza, quindi:
$3^{(4+n)} \, > \, (4+n)^3.$
Sono passato dal numero naturale $\,n\,$ al successivo $\,n+1\,$, partendo da 1,
perciò la (1) vale per tutti i numeri naturali.
Fatto
(Se&o)
Complimenti per le altre risoluzioni!
Ultima modifica di Bruno il sab mar 18, 2006 6:53 pm, modificato 2 volte in totale.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...ora,e sono le 17.34 ,noto che alcune delle finestrelle rettangolari, con la xrossa,del topic "Una grande radice",si sono talmente ristrette in altezza,che il codice tex non è possibile leggerlo in quando tagliato a metà dalla base del rettangolo.
Altre finestrelle sembra invece che siano "cresciute" in altezza,nel senso che appaiono più larghe del solito. Boh!?
Altre finestrelle sembra invece che siano "cresciute" in altezza,nel senso che appaiono più larghe del solito. Boh!?
Peppe