Una grande radice

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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_Bruno

Una grande radice

Messaggio da _Bruno »

...

Qual è il più grande dei numeri $\displaystyle \; \sqr{2},\; \sqr[3]{3},\; \sqr[4]{4},\; \sqr[5]{5},\; \cdots \; \sqr[n]{n},\; \cdots \;$ ?
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Invisibile un vento / l'ha apena sfioragia / sospension d'un momento; /
e la bola iridessente gera 'ndagia. (Biagio Marin)

_0-

Messaggio da _0- »

E' presa dal Ghersi per caso?Io la dimostrazione ce l'ho(non la posto perché non é farina del mio sacco),ma siccome non l'ho capita sarei felice di leggerla nella forma chiara e comprensibile tipica di Bruno.Aspetto con ansia.
Scusate l'off topic.
Saluti,
Zerinf
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Voglio tutto!Per favore...
(Io)
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\;\int_{0}^{\infty}\;\prod_{k=0}^{\infty}\;\lim_{0\to\infty}=Zerinfinito...$

_Bruno

Messaggio da _Bruno »

...

Ciao, caro 0-§.
No, non ho preso questo problema da Ghersi.
sarei felice di leggerla nella forma chiara e comprensibile tipica di Bruno...
Ti ringrazio per la fiducia e l'apprezzamento, ma ho intenzione di mantenermi
fedele a una condotta che mi piace molto: in quanto proponente, aspetterò
che arrivino le soluzioni degli eventuali basecinquini interessati, prima di proporre
la mia (sempre che la ritenga ancora un pochino meritevole).
E so aspettare...

:wink:
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_0-§

Messaggio da _0-§ »

Arieccomi!
Ti ringrazio per la fiducia e l'apprezzamento, ma ho intenzione di mantenermi
fedele a una condotta che mi piace molto: in quanto proponente, aspetterò
che arrivino le soluzioni degli eventuali basecinquini interessati, prima di proporre
la mia (sempre che la ritenga ancora un pochino meritevole).
E so aspettare...
Sì,beh,era sottinteso che bisognava attendere eventuali solutori.Anch'io aspetterò...
Strano che non sia del Ghersi,io pensavo che fosse un problema ignoto ai più.
Vedremo.Intanto,saluti!
O-esse
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(Io)
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_Bruno

Messaggio da _Bruno »

0-§ ha scritto:
Strano che non sia del Ghersi,io pensavo che fosse un problema ignoto ai più...

...sicuramente lo conoscevano già gli studenti che andavano alle superiori un secolo fa!
L'ho preso da una rivista dell'epoca :D
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_Admin

Messaggio da _Admin »

Dunque,
portando tutti i numeri da confrontare allo stesso grado di radice, si tratta di confrontare poi i radicandi;
ad es. se prendiamo $\sqr[5]{5}$ e $\sqr[6]{6}$ si ha, uguagliando il grado

$\sqr[30]{5^6}$ e $\sqr[30] {6^5}$

Ora, calcolatrice alla mano, si verifica facilmente che il radicando di un numero è superiore a quello del numero immediatamente successivo, eccetto che per i primi due numeri $\sqr{2}$ e $\sqr[3]{3}$ per i quali si ha:


$\sqr[6]{2^3}\quad(x+1)^x\quad\quad \forall \quad x>2$

Si potrebbe provare a dimostrarlo, ma forse la tua dimostrazione Bruno è più semplice.
Fammi sapere

Admin
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Pietro Vitelli
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_Edmund

Messaggio da _Edmund »

Che ve ne pare di

$\sqr[e]{e}$

_delfo52

Messaggio da _delfo52 »

per restare da quelle parti, potremmo provare con 1 + 1,61803...
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Enrico
(E' la divergenza di opinioni che rende possibili, e interessanti, le corse di cavalli-M.Twain)

_Gianfranco

Messaggio da _Gianfranco »

Ciao a tutti,

la derivata prima di x^{1/x} è:
x^{1/x}((1-log(x))/x^2)

che cambia segno (+/-) per x=e.
Quindi la funzione ha un massimo per x=e

2 2^{1/2}

Acuta l'osservazione di Edmund

Gianfranco Bo

_Leandro

Messaggio da _Leandro »

Una dimostrazione che si ferma alla conoscenza del numero e e' la seguente.
Abbiamo:
$\frac{\sqrt[n+1]{n+1}}{\sqrt[n](n)}=\sqrt[n(n+1)]{\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}}=\sqrt[n(n+1)]{(1+\frac{1}{n})^n\frac{1}{n}}<\sqrt[n(n+1)]{\frac{3}{n}}$Pertanto se $n\geq3$ risulta:$\frac{\sqrt[n+1]{n+1}}{\sqrt[n]{n}}<1$ e cio' prova che la successione e' strettamente decrescente a partire dal secondo termine.

Il valore piu' grande e' dunque $\sqrt[3]3$ .
Leandro

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Messaggio da Admin »

Fine recupero.
Pietro Vitelli (Amministratore del Forum)
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www.pvitelli.net

Bruno
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Messaggio da Bruno »

Pietro ha scritto:ma forse la tua dimostrazione Bruno è più semplice.
Non so se sia la più semplice, comunque ho proceduto così.
Pietro ha scritto:(...) eccetto che per i primi due numeri $\sqr{2}$ e $\sqr[3]{3}$ per i quali si ha:

$\sqr[6]{2^3}\quad(x+1)^x\quad\quad \forall \quad x>2$
...e così ho riscritto questa disuguaglianza come segue, dovendo ricondurre le
mie valutazioni a $\, {\text \footnotesize \sqr[3]{3}\,>\,\sqr[m]{m}}$ per $\,{\text \footnotesize m\,>\,3}$:

1) $\; 3^{(3+t)} \, > \, (3+t)^3 ,\;$ con $t\,\ge\,1$

Per t=1 la disuguaglianza è sicuramente verificata: $\;{\text \footnotesize3^4=81 > 4^3=64}$.

Suppongo quindi che la (1) sia vera fino a un certo $n$:

$3^{(3+n)} \, > \, (3+n)^3$

e moltiplico entrambi i membri per 3:

$3\cdot 3^{(3+n)} = 3^{(4+n)} \, > \, 3\cdot (3+n)^3 = 81+81n+27n^2+3n^3 = (4+n)^3 +17+33n+15n^2+2n^3.$

Poiché l'espressione ${\text \footnotesize 17+33n+15n^2+2n^3}$ corrisponde a un numero positivo,
se la eliminassi rafforzerei senz'altro la disuguaglianza, quindi:

$3^{(4+n)} \, > \, (4+n)^3.$

Sono passato dal numero naturale $\,n\,$ al successivo $\,n+1\,$, partendo da 1,
perciò la (1) vale per tutti i numeri naturali.

Fatto :D

(Se&o)


Complimenti per le altre risoluzioni!
Ultima modifica di Bruno il sab mar 18, 2006 6:53 pm, modificato 2 volte in totale.
(Bruno)

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peppe
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Messaggio da peppe »

...ora,e sono le 17.34 ,noto che alcune delle finestrelle rettangolari, con la xrossa,del topic "Una grande radice",si sono talmente ristrette in altezza,che il codice tex non è possibile leggerlo in quando tagliato a metà dalla base del rettangolo.

Altre finestrelle sembra invece che siano "cresciute" in altezza,nel senso che appaiono più larghe del solito. Boh!? :cry:
Peppe

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Messaggio da peppe »

O.K.
E' tutto a posto! Le "crociate" sono finite...
Peppe

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Per me le crociate sono ricominciate.
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$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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