Trasformazioni di una semicirconferenza

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Gianfranco
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Trasformazioni di una semicirconferenza

Messaggio da Gianfranco »

Cari amici, perdonatemi se ho l'ardire di presentarvi un nuovo problema mentre partecipo pochissimo al Forum.
Forse è un problema semplice ma mi piacerebbe leggere le vostre opinioni.
Ho usato il piano cartesiano perché è più facile identificare i vettori e parlare di direzione "orizzontale" o "verticale".
circ_vettori1.png
circ_vettori1.png (15.57 KiB) Visto 3569 volte
Segniamo due punti A, B nel piano e tracciamo la semicirconferenza ACB dove C è il punto medio dell'arco AB.
Trasliamo il punto A di un vettore orizzontale AA'.
Immaginiamo che anche la semicircoferenza si trasformi in modo che alla fine il suo diametro sia A'B.
In questa trasformazione, il punto C si sposta in C'.
La prima domanda è: che relazione c'è tra il vettore AA' e il vettore CC'?

Osservate le seguenti figure.
Ripeto che la direzione del vettore AA' è SEMPRE orizzontale. La lunghezza e il verso invece possono cambiare a piacere.
La seconda domanda è: la relazione tra i due vettori-spostamento è indipendente dalla posizione dei punti A, B ma dipende solo dal vettore AA'?
circ_vettori2.png
circ_vettori2.png (17.54 KiB) Visto 3569 volte
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Pace e bene a tutti.
Gianfranco

panurgo
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Re: Trasformazioni di una semicirconferenza

Messaggio da panurgo »

Consideriamo due circonferenze che si intersecano
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TrasfCirc.01.001_480x480.png (22.87 KiB) Visto 3547 volte
In una delle due tracciamo il diametro $\text{AB}$
TrasfCirc.01.002_480x480.png
TrasfCirc.01.002_480x480.png (24.8 KiB) Visto 3547 volte
Le semirette $\text{A}^\prime\text{A}$ e $\text{A}^\prime\text{B}$ formano un angolo di $90^\circ$ perché l’angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro.
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TrasfCirc.01.003_480x480.png (30.65 KiB) Visto 3547 volte
La semiretta $\text{A}^\prime\text{B}$ interseca l’altra circonferenza nel punto $\text{C}$: il segmento $\text{AC}$ è il diametro del cerchio perché l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza
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TrasfCirc.01.004_480x480.png (31.99 KiB) Visto 3547 volte
Per lo stesso motivo la semiretta da $\text{A}^\prime$ per il punto medio dell’arco $\text{AB}$ passa anche per il punto medio dell’arco $\text{AC}$
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TrasfCirc.01.005_480x480.png (34.26 KiB) Visto 3547 volte
e questo è il motivo per cui i due vettori formano un angolo costante di $45^\circ$.
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TrasfCirc.01.006_480x480.png (35.06 KiB) Visto 3547 volte
Non resta che dimostrare che il rapporto dei moduli dei due vettori vale $\sqrt2$.
il panurgo

Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Gianfranco
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Re: Trasformazioni di una semicirconferenza

Messaggio da Gianfranco »

Grazie Panurgo, ottimo lavoro.
La dimostrazione avrebbe bisogno di qualche ritocchino e un completamento ma ci siamo.
Questo teorema si può leggere in chiave cinematica: il punto C si muove e la circonferenza si trasforma.
Si può anche dire che questo è un teorema di "conservazione": qualunque sia la circonferenza di partenza e quella di arrivo, l'angolo tra i due segmenti/vettori è sempre lo stesso come pure il rapporto fra le loro lunghezze.

OK, Panurgo, secondo me, questo teorema permette di risolvere in un modo semplicissimo il tuo "teorema inaspettato" (un-teorema-inaspettato-t73.html#p278) riproposto da Pasquale in questo post:
un-vecchio-quesito-t8236.html?sid=a33eb ... 20b300999d

Per prima cosa, scriviamo il Teorema inaspettato in una forma equivalente ma un po' più distraction free.
inaspettato1.png
inaspettato1.png (10.03 KiB) Visto 3525 volte
1) A, B, C, D sono i vertici di un quadrilatero (convesso).
2) Costruiamo le semicirconferenze "esterne" e segniamo i punti medi degli archi.
3) SUPPONIAMO che GH ed EF siano congruenti e perpendicolari (è una specie di ipotesi induttiva, e un quadrilatero con tale proprietà esiste - il quadrato)
4) DIMOSTRAMO che SE spostiamo uno dei vertici A, B, C, D, tale proprietà SI CONSERVA.
5) Spostiamo per esempio il punto B con vettore BI.
Le semicirconferenze rosse indicano come si "trasforma" la figura.
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inaspettato2.png (15.74 KiB) Visto 3525 volte
6) Per il teorema che hai dimostrato prima, i vettori GJ e FK hanno lo stesso modulo e formano un angolo di 45° con il vettore BI.
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inaspettato3.png (20.22 KiB) Visto 3523 volte
7) Da ciò discende, con qualche passaggio, che i triangoli GHJ e FEK sono congruenti. (ricordiamo che per ipotesi GH ed EF sono perpendicolari e congruenti).

8) In conclusione:
SE GH ed EF sono perpendicolari e congruenti ALLORA lo sono anche HJ ed EK.

Spostando in sequenza altri vertici A, B, C, D si può trasformare il quadrilatero iniziale in un QUALUNQUE altro quadrilatero convesso del piano e la "inaspettata proprietà" si conserva.

Come quadrilatero iniziale possiamo prendere un quadrato e siamo a posto.

Resta da verificare per i quadrilateri concavi.
Bisogna descrivere bene come tracciare le semicirconferenze.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

panurgo
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Re: Trasformazioni di una semicirconferenza

Messaggio da panurgo »

Chapeau! :D

Per quanto riguarda il rapporto tra le lunghezze dei vettori ho fatto qualche passo
TrasfCirc.01.007_480x480.png
TrasfCirc.01.007_480x480.png (41.48 KiB) Visto 3512 volte
L'angolo in $\text{A}$ è congruente con quello in $\text{A}^\prime$ perché sottendono lo stesso arco $\text{C}^\prime\text{C}$ ed è congruente a quello in $\text{C}$ perché $\text{CB}^{\prime\prime}\text{B}^\prime\text{C}^\prime$ è un parallelogramma.

Bisogna dimostrare che l'angolo in $\text{B}^{\prime\prime}$ è retto o, in alternativa, che i due triangoli sono simili.
il panurgo

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gnugnu
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Re: Trasformazioni di una semicirconferenza

Messaggio da gnugnu »

Molto bella!! E si può adattare, trasformando le semicircomferenze in archi di circonferenza da cui si vedono gli estremi sotto un angolo di $ 120° $, per la dimostrazione del "Teorema di Napoleone".
Ciao

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