Cari amici, perdonatemi se ho l'ardire di presentarvi un nuovo problema mentre partecipo pochissimo al Forum.
Forse è un problema semplice ma mi piacerebbe leggere le vostre opinioni.
Ho usato il piano cartesiano perché è più facile identificare i vettori e parlare di direzione "orizzontale" o "verticale".
Segniamo due punti A, B nel piano e tracciamo la semicirconferenza ACB dove C è il punto medio dell'arco AB.
Trasliamo il punto A di un vettore orizzontale AA'.
Immaginiamo che anche la semicircoferenza si trasformi in modo che alla fine il suo diametro sia A'B.
In questa trasformazione, il punto C si sposta in C'.
La prima domanda è: che relazione c'è tra il vettore AA' e il vettore CC'?
Osservate le seguenti figure.
Ripeto che la direzione del vettore AA' è SEMPRE orizzontale. La lunghezza e il verso invece possono cambiare a piacere.
La seconda domanda è: la relazione tra i due vettori-spostamento è indipendente dalla posizione dei punti A, B ma dipende solo dal vettore AA'?
Trasformazioni di una semicirconferenza
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
-
- Supervisore del sito
- Messaggi: 1708
- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Trasformazioni di una semicirconferenza
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Trasformazioni di una semicirconferenza
Consideriamo due circonferenze che si intersecano
In una delle due tracciamo il diametro $\text{AB}$
Le semirette $\text{A}^\prime\text{A}$ e $\text{A}^\prime\text{B}$ formano un angolo di $90^\circ$ perché l’angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro.
La semiretta $\text{A}^\prime\text{B}$ interseca l’altra circonferenza nel punto $\text{C}$: il segmento $\text{AC}$ è il diametro del cerchio perché l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza
Per lo stesso motivo la semiretta da $\text{A}^\prime$ per il punto medio dell’arco $\text{AB}$ passa anche per il punto medio dell’arco $\text{AC}$
e questo è il motivo per cui i due vettori formano un angolo costante di $45^\circ$.
Non resta che dimostrare che il rapporto dei moduli dei due vettori vale $\sqrt2$.il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
-
- Supervisore del sito
- Messaggi: 1708
- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Re: Trasformazioni di una semicirconferenza
Grazie Panurgo, ottimo lavoro.
La dimostrazione avrebbe bisogno di qualche ritocchino e un completamento ma ci siamo.
Questo teorema si può leggere in chiave cinematica: il punto C si muove e la circonferenza si trasforma.
Si può anche dire che questo è un teorema di "conservazione": qualunque sia la circonferenza di partenza e quella di arrivo, l'angolo tra i due segmenti/vettori è sempre lo stesso come pure il rapporto fra le loro lunghezze.
OK, Panurgo, secondo me, questo teorema permette di risolvere in un modo semplicissimo il tuo "teorema inaspettato" (un-teorema-inaspettato-t73.html#p278) riproposto da Pasquale in questo post:
un-vecchio-quesito-t8236.html?sid=a33eb ... 20b300999d
Per prima cosa, scriviamo il Teorema inaspettato in una forma equivalente ma un po' più distraction free. 1) A, B, C, D sono i vertici di un quadrilatero (convesso).
2) Costruiamo le semicirconferenze "esterne" e segniamo i punti medi degli archi.
3) SUPPONIAMO che GH ed EF siano congruenti e perpendicolari (è una specie di ipotesi induttiva, e un quadrilatero con tale proprietà esiste - il quadrato)
4) DIMOSTRAMO che SE spostiamo uno dei vertici A, B, C, D, tale proprietà SI CONSERVA.
5) Spostiamo per esempio il punto B con vettore BI.
Le semicirconferenze rosse indicano come si "trasforma" la figura. 6) Per il teorema che hai dimostrato prima, i vettori GJ e FK hanno lo stesso modulo e formano un angolo di 45° con il vettore BI. 7) Da ciò discende, con qualche passaggio, che i triangoli GHJ e FEK sono congruenti. (ricordiamo che per ipotesi GH ed EF sono perpendicolari e congruenti).
In conclusione:
SE GH ed EF sono perpendicolari e congruenti ALLORA lo sono anche HJ ed EK.
Spostando in sequenza altri vertici A, B, C, D si può trasformare il quadrilatero iniziale in un QUALUNQUE altro quadrilatero convesso del piano e la "inaspettata proprietà" si conserva.
Come quadrilatero iniziale possiamo prendere un quadrato e siamo a posto.
Resta da verificare per i quadrilateri concavi.
Bisogna descrivere bene come tracciare le semicirconferenze.
La dimostrazione avrebbe bisogno di qualche ritocchino e un completamento ma ci siamo.
Questo teorema si può leggere in chiave cinematica: il punto C si muove e la circonferenza si trasforma.
Si può anche dire che questo è un teorema di "conservazione": qualunque sia la circonferenza di partenza e quella di arrivo, l'angolo tra i due segmenti/vettori è sempre lo stesso come pure il rapporto fra le loro lunghezze.
OK, Panurgo, secondo me, questo teorema permette di risolvere in un modo semplicissimo il tuo "teorema inaspettato" (un-teorema-inaspettato-t73.html#p278) riproposto da Pasquale in questo post:
un-vecchio-quesito-t8236.html?sid=a33eb ... 20b300999d
Per prima cosa, scriviamo il Teorema inaspettato in una forma equivalente ma un po' più distraction free. 1) A, B, C, D sono i vertici di un quadrilatero (convesso).
2) Costruiamo le semicirconferenze "esterne" e segniamo i punti medi degli archi.
3) SUPPONIAMO che GH ed EF siano congruenti e perpendicolari (è una specie di ipotesi induttiva, e un quadrilatero con tale proprietà esiste - il quadrato)
4) DIMOSTRAMO che SE spostiamo uno dei vertici A, B, C, D, tale proprietà SI CONSERVA.
5) Spostiamo per esempio il punto B con vettore BI.
Le semicirconferenze rosse indicano come si "trasforma" la figura. 6) Per il teorema che hai dimostrato prima, i vettori GJ e FK hanno lo stesso modulo e formano un angolo di 45° con il vettore BI. 7) Da ciò discende, con qualche passaggio, che i triangoli GHJ e FEK sono congruenti. (ricordiamo che per ipotesi GH ed EF sono perpendicolari e congruenti).
In conclusione:
SE GH ed EF sono perpendicolari e congruenti ALLORA lo sono anche HJ ed EK.
Spostando in sequenza altri vertici A, B, C, D si può trasformare il quadrilatero iniziale in un QUALUNQUE altro quadrilatero convesso del piano e la "inaspettata proprietà" si conserva.
Come quadrilatero iniziale possiamo prendere un quadrato e siamo a posto.
Resta da verificare per i quadrilateri concavi.
Bisogna descrivere bene come tracciare le semicirconferenze.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Trasformazioni di una semicirconferenza
Chapeau!
Per quanto riguarda il rapporto tra le lunghezze dei vettori ho fatto qualche passo
L'angolo in $\text{A}$ è congruente con quello in $\text{A}^\prime$ perché sottendono lo stesso arco $\text{C}^\prime\text{C}$ ed è congruente a quello in $\text{C}$ perché $\text{CB}^{\prime\prime}\text{B}^\prime\text{C}^\prime$ è un parallelogramma.
Bisogna dimostrare che l'angolo in $\text{B}^{\prime\prime}$ è retto o, in alternativa, che i due triangoli sono simili.
Per quanto riguarda il rapporto tra le lunghezze dei vettori ho fatto qualche passo
L'angolo in $\text{A}$ è congruente con quello in $\text{A}^\prime$ perché sottendono lo stesso arco $\text{C}^\prime\text{C}$ ed è congruente a quello in $\text{C}$ perché $\text{CB}^{\prime\prime}\text{B}^\prime\text{C}^\prime$ è un parallelogramma.
Bisogna dimostrare che l'angolo in $\text{B}^{\prime\prime}$ è retto o, in alternativa, che i due triangoli sono simili.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Re: Trasformazioni di una semicirconferenza
Molto bella!! E si può adattare, trasformando le semicircomferenze in archi di circonferenza da cui si vedono gli estremi sotto un angolo di $ 120° $, per la dimostrazione del "Teorema di Napoleone".
Ciao
Ciao