2ⁿ + 3ⁿ.

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Bruno
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2ⁿ + 3ⁿ.

Messaggio da Bruno »

Che forma deve avere il numero naturale n affinché 2ⁿ + 3ⁿ abbia come minimo fattore primo 17 ?
(Bruno)

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panurgo
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Re: 2ⁿ + 3ⁿ.

Messaggio da panurgo »

Per prima cosa esploriamo i valori piccoli di $n$

$\begin{array}{|c|c|c|c|C}
\hline
n & 2^n \mod17 & 3^n \mod17 & 2^n+3^n\mod17 \\
\hline
1 & 2 & 3 & 5\\
2 & 4 & 9 & 13\\
3 & 8 & 10 & 1\\
4 & 16 & 13 & 12\\
5 & 15 & 5 & 3\\
6 & 13 & 15 & 1\\
7 & 9 & 11 & 1\\
8 & 1 & 16 & 0\\
\hline\end{array}$

Poi, approfittando del Piccolo Teorema di Fermat $a^{p-1}\equiv 1\;\left(\text{mod}\, p\right)$, aggiungiamo i due fattori $2^{16k}$ e $3^{16k}$ ottenendo

$\displaystyle n=8\left(2k+1\right)$ :wink:

Correggo l'intestazione della tabella: i numeri sono modulo diciassette.
Ultima modifica di panurgo il mar dic 24, 2019 3:31 pm, modificato 1 volta in totale.
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Bruno
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Re: 2ⁿ + 3ⁿ.

Messaggio da Bruno »

Ottimo, Guido.

Quell'esponente ci garantisce che 17 sia il minimo fattore primo della somma considerata? È un aspetto del problema che bisognerebbe chiarire :wink:
(Bruno)

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panurgo
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Re: 2ⁿ + 3ⁿ.

Messaggio da panurgo »

Evidentemente, $2^n+3^n$ non può essere divisibile ne per $2$ ne per $3$: vediamo cosa succede per $p=5$

$\begin{array}{|c|c|c|c|C}
\hline
n & 2^n \mod5 & 3^n \mod5 & 2^n+3^n\mod5 \\
\hline
1 & 2 & 3 & 0\\
\hline\end{array}$

Con Fermat, $a^4\equiv1\;\left(\text{mod}\,5\right)$ per cui $n=4k+1$: ponendo $8\left(2k+1\right)=4k+1$ otteniamo $k=-\frac7{12}$, il che è impossibile.

Con $p = 7$

$\begin{array}{|c|c|c|c|C}
\hline
n & 2^n \mod7 & 3^n \mod7 & 2^n+3^n\mod7 \\
\hline
1 & 2 & 3 & 5\\
2 & 4 & 2 & 6\\
3 & 1 & 6 & 0\\
\hline\end{array}$

Con Fermat, $a^6\equiv1\;\left(\text{mod}\,7\right)$ per cui $n=3\left(2k+1\right)$: evidentemente $8\left(2k+1\right)\neq 3\left(2k+1\right)$.

Con $p = 11$

$\begin{array}{|c|c|c|c|C}
\hline
n & 2^n \mod11 & 3^n \mod11 & 2^n+3^n\mod11 \\
\hline
1 & 2 & 3 & 5\\
2 & 4 & 9 & 2\\
3 & 8 & 5 & 2\\
4 & 5 & 4 & 9\\
5 & 10 & 1 & 0\\
\hline\end{array}$

Con Fermat, $a^{10}\equiv1\;\left(\text{mod}\,11\right)$ per cui $n=5\left(2k+1\right)$, e $8\left(2k+1\right)\neq 5\left(2k+1\right)$.

Infine, con $p = 13$

$\begin{array}{|c|c|c|c|C}
\hline
n & 2^n \mod13 & 3^n \mod13 & 2^n+3^n\mod13 \\
\hline
1 & 2 & 3 & 5\\
2 & 4 & 9 & 0\\
\hline\end{array}$

Con Fermat, $a^{12}\equiv1\;\left(\text{mod}\,13\right)$ per cui $n=2\left(6k+1\right)$: ponendo $8\left(2k+1\right)= 2\left(6k+1\right)$ otteniamo $k=-\frac32$.

Quindi, sì: con $n=8\left(2k+1\right)$, $17$ è il minimo divisore primo di $2^n+3^n$
il panurgo

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Re: 2ⁿ + 3ⁿ.

Messaggio da Bruno »

È così, molto bene :D

Anche senza ricondurre tutto a una stessa variabile, un multiplo di 8 non può essere un numero dispari, né il doppio di un numero dispari.
(Bruno)

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