Il dubbione

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Pasquale
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Il dubbione

Messaggio da Pasquale »

Nella nota trasmissione TV, in cui per vincere il premio occorre indovinare la giusta parentela, è stata introdotta la possibilità di utilizzare il "DUBBIONE".
In una certa fase del gioco, trattasi della possibilità per il concorrente, dopo avere scelto un parente fra 4, di poterlo cambiare, scegliendone uno diverso fra i restanti 3.
Considerato che utilizzando il dubbione il premio viene dimezzato, ove ammettessimo che la scelta del parente fosse di tipo casuale, sarebbe più conveniente utilizzare sempre il dubbione, oppure non utilizzarlo mai ? :?
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Re: Il dubbione

Messaggio da franco »

Ricorda vagamente il "problema di Monty Hall".
https://it.wikipedia.org/wiki/Problema_di_Monty_Hall

Rispetto a tale problema però mi pare di capire che il conduttore non indichi esplicitamente che uno dei 3 rimanenti non sia la scelta giusta e soprattutto cambia il fatto che a fare il cambio il premio di dimezza.

Quindi, immaginando che tutte le scelte siano casuali, io terrei per buona la scelta originale.


P.S. Ho intravisto qualche spezzone del quiz in TV ma mai una puntata intera, quindi magari mi sfugge qualcosa sulle regole ...
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Re: Il dubbione

Messaggio da franco »

Argomentando oltre.

Nella prima scelta ho 1/4 di probabilità di vincere e 3/4 di probabilità di perdere.

Se non cambio, mancando qualsiasi altra informazione, la probabilità di vittoria resta P=1/4.

Se cambio e ci avevo visto giusto la prima volta perderò di sicuro, se invece la prima scelta era sbagliata la probabilità di vittoria con la seconda scelta è 1/3.
Quindi alla fine la probabilità di vittoria diventa:
P=1/4•0+3/4•1/3=1/4
Tale e quale quella senza il cambio ma con vincita dimezzata!
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Pasquale
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Re: Il dubbione

Messaggio da Pasquale »

Quindi, matematicamente parlando, potrebbe convenire, se non si è certi di una scelta ragionata, tirare una monetina ed escludere comunque il dubbione.
Infatti, alla luce del dopo, è capitato nel gioco reale, che la prima scelta era giusta, ma utilizzando il dubbione, si è operata successivamente una scelta errata al 100%.
La prima scelta, se ragionata, in fondo è più pericolosa di una casuale, considerato che i parenti non sono mai dei gemelli siamesi.
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Re: Il dubbione

Messaggio da franco »

Ho trovato una variante di questo problema.
Al casinò hai davanti 4 carte coperte: sai che sono le quattro donne.
Puoi scommettere 10€ su una delle carte; se indovini la donna di cuori vinci 20€ (oltre a riprenderti la posta), in caso contrario perdi.

Succede che decidi di tentare la sorte e punti i 10€ sulla prima carta alla tua sinistra.
Il croupier, che sa quale sarebbe la risposta giusta, anzichè mostrare la tua carta ne gira un'altra che si rivela essere la donna di picche e dice:
"Se vuoi, puoi decidere di cambiare la tua scelta ma in tal caso dovrai aggiungere 5€ alla posta"
Che fare?

edit: ho aggiunto qui sotto il link con la fonte di questo problema
http://www.diophante.fr/problemes-par-t ... ter-fidele
Ultima modifica di franco il sab dic 14, 2019 9:02 am, modificato 2 volte in totale.
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Pasquale
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Re: Il dubbione

Messaggio da Pasquale »

Si, è vero ed è anche più simpatica.
Quando scelgo la prima carta, ogni volta ho una probabltà di 1/4 di indovinare e vincere 20 euro.
Poniamo ora, per semplicità di scrittura, che il croupier scopra la quarta carta: in tal caso, le situazioni possibili delle 3 carte rimaste coperte è la seguente:

1 2 3
C Q F
C F Q
Q C F
Q F C
F C Q
F Q C

Se scelgo di non accettare il cambio, la mia probablità iniziale migliora da 1/4 a 1/3, restando inalterata la vincita, mentre se cambio, la probabilità è pure di 1/3, ma ci rimetto sulla vincita. Quindi, non accetto il cambio.
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Re: Il dubbione

Messaggio da franco »

... sono d'accordo con la risposta ma non mi convince il ragionamento.
Il fatto che il croupier sappia qual è la carta giusta e quindi non ne scopra una a caso secondo me è rilevante.
Fra l'altro il citato problema di Monty-Hall (anche se diverso da questo) dava una risposta piuttosto controintuitiva ...

Provo a ragionare diversamente.

Ci sono due momenti chiave nel gioco:
- quando decido se scommettere o no
- quando decido se cambiare o no

Nel primo momento so che la speranza di quadagno col gioco è -2,5€:
Infatti in un caso su 4 andrò a casa con 20 € in più rispetto a quando ero arrivato, negli altri 3 casi tornerò con 10 € in meno.
E' evidente che la scelta giusta sarebbe non scommettere ma la stupidità umana è infinita quindi, nello spirito del problema, scommetto.

Il fatto che il croupier scopra subito la mia carta o aumenti la suspance scoprendo una alla volta quelle che non ho scelto, non cambia di una virgola la mia speranza di guadagno che rimane sempre -2,5€.

Siamo però al secondo momento topico.
Il croupier ha "bruciato" una carta perdente e io posso scegliere di cambiare.
Come calcolo la speranza di guadagno?
Ipotizziamo di aver scelto la carta a; le combinazioni possibili prima del cambio sono:
... a b c
1. V P P
2. P V P
3. P P V
Dopo il cambio carta ci sono 6 scenari equiprobabili:
1.1. scelgo la b --> -15€
1.2. scelgo la c --> -15€
2.1. scelgo la b --> +20€
2.2. scelgo la c --> -15€
3.1. scelgo la b --> -15€
3.2. scelgo la c --> +20€
La speranza di guadagno è di -3,33€: peggio del -2,5€ di partenza.
Quindi la scelta migliore sarebbe quella di non cambiare. (ma siccome la stupidità umana è infinita ...)

Il fatto che il cambio comporti una puntata aggiuntiva è fondamentale nella decisone.
Se l'opzione cambio fosse gratuita, gli scenari sarebbero stati questi:
1.1. scelgo la b --> -10€
1.2. scelgo la c --> -10€
2.1. scelgo la b --> +20€
2.2. scelgo la c --> -10€
3.1. scelgo la b --> -10€
3.2. scelgo la c --> +20€
In questo caso la speranza di guadagno sarebbe zero: meglio del -2,5€ di partenza.
Quindi converrebbe cambiare!

P.S.
Il problema di Monty-Hall comunque mi lascia sempre la testa confusa. Non sono sicurissimo di aver ragionato correttamente.
Sono però sicuro che io al casinò non sarei nemmeno entrato, tanto lo so che si perde sempre :D

2°P.S.
Nel sito francese dove ho pescato questo problema, si suggerisce di provare a scrivere un programmino di simulazione per vedere cosa ne viene fuori, visto che la soluzione intuitiva potrebbe trarre in inganno:
Remarque : on peut s'aider d'un ordinateur pour simuler autant de parties que nécessaire et trouver la bonne stratégie qu'un raisonnement intuitif trop rapide pourrait occulter.
Franco

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Pasquale
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Re: Il dubbione

Messaggio da Pasquale »

Dunque, io non ho voluto cambiare per non perdere quel tantino che mi regalava la probabilità favorevole, perché non sono un giocatore e perchè Iin realtà ho ragionato come se avessi giocato una sola volta.

Se però esamino il gioco nel lungo periodo e se ho capito bene le condizioni di gioco, vado a vedere cosa accade.

Dunque, alle condizioni che seguono:
pago -10 e se vinco, senza aver cambiato, riscuoto +30
oppure:
pago -15, cambiando carta, e se vinco riscuoto +35

Passo al conto della serva, facendo 8 giocate in cui si evidenziano le probabilità teoriche con precisione.
Lo schema che segue non riporta la carta perdente che ogni volta viene scoperta dal croupier e non tengo conto del fatto che conosca la posizione delle carte,
perchè, comunque la posizione iniziale (che è casuale) non cambia. Al massimo si tratterà di una questione psicologica.
Per una questione schematica considero la carta scoperta dal croupier come situata in 4^ posizione e quindi non la inserisco nello schema.
In prima posizione c'è la mia prima scelta, mentre la carta di cambio la sistemo in seconda posizione, per semplificare i conteggi e lo schema.
Con V indico la vincita e con P la perdita.
La carta che era perdente, al momento del cambio, vince al 50% con il cambio, mentre la carta che era vincente sarà sempre perdente.
Nello schema di 8 giocate considero 6 giochi inizialmente perdenti sulla prima carta che poi cambierò e 2 vincenti che pure cambierò (75% contro il 25%).
Come già detto, il cambio sarà sempre perdente se la prima carta era vincente e sarà vincente al 50% se era perdente. Quindi:

1° gioco) P -> cambio: V - speso: -15.....riscuoto: 35
2° gioco) P -> cambio: P - speso: -15
3° gioco) P -> cambio: V - speso: -15.....riscuoto: 35
4° gioco) P -> cambio: P - speso: -15
5° gioco) P -> cambio: V - speso: -15.....riscuoto: 35
6° gioco) P -> cambio: P - speso: -15
7° gioco) V -> cambio: P - speso: -15
8° gioco) V -> cambio: P - speso: -15
.......................Totale speso: -120...riscosso: 105.... perso: 15

Senza cambiare mai, avrei speso 80 e riscosso 60, perdendo 20. Quindi, cambiando sempre, avrei perso 5 euro in meno.
Ultima modifica di Pasquale il gio dic 19, 2019 12:56 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: Il dubbione

Messaggio da franco »

Ho preso un bel granchio (e Pasquale ha ragione)!

Ho provato a scrivere il programmino in VBasic come suggerito dal sito francese e il risultato è stato chiaro.

Codice: Seleziona tutto

Sub dubbione()
    Randomize
    iterazioni = 1000000     'numero di partite
    cumR = 0    'bottino cumulato rimanendo sulla scelta iniziale
    cumC = 0    'bottino cumulato cambiando carta
    winR = 0    'partite vinte rimanendo sulla scelta iniziale
    winC = 0    'partite vinte cambiando carta
    For iter = 1 To iterazioni
                'estraiamo a sorte la carta vincente e la scelta iniziale
        vince = Int(Rnd() * 4 + 1)
        scelta = Int(Rnd() * 4 + 1)
        If vince = scelta Then
                'avevo scelto la carta vincente
                'rimanendo sulla scelta iniziale vinco
            winR = winR + 1
            cumR = cumR + 20
                'cambiando carta perdo sicuramente
            cumC = cumC - 15
        Else
                'avevo scelto la una carta perdente
                'rimanendo sulla scelta iniziale perdo
            cumR = cumR - 10
                'estraggo a sorte la carta da cambiare, avendo il 50% di probabilità di azzeccarci
            cambio = Int(Rnd() * 2)
            If cambio = 1 Then
                'col cambio ho preso la carta vincente
                winC = winC + 1
                cumC = cumC + 20
            Else
                'col cambio ho preso la carta perdente
                cumC = cumC - 15
            End If
        End If
    Next iter
                'visualizzo sul foglio elettronico i risultati
    Cells(1, 1) = cumR / iterazioni
    Cells(2, 1) = cumC / iterazioni
    Cells(1, 2) = winR / iterazioni
    Cells(2, 2) = winC / iterazioni
End Sub
Con 1 milione di partite, a restare sulla scelta iniziale si perdono in media 2,5€ (con il 25% di partite vinte), cambiando carta la perdita media si riduce a circa 1,87 € (con il 37,5% di partite vinte).
Quindi conviene cambiare carta, anche se ciò ci costringe ad aumentare di 5 euro la posta in gioco.

Il ragionamento, ricavato a ritroso ma già abbastanza evidente nel momento in cui scrivevo il codice, è questo:
Immaginiamo che io faccia la prima scelta a caso.
Evidentemente la probabilità di scegliere quella vincente è del 25% e se non cambio il mio risultato atteso sarà
$R=20*0,25-10*0,75=-2,50€$
Se invece decido di cambiare ...
25% avevo scelto la carta vincente all'inizio quindi cambiando perdo di sicuro
75% avevo scelto la carta sbagliata ma, poichè il croupier mi ha tolto dai possibili cambi una carta perdente, ho il 50% di probabilità di trovare col cambio la carta vincente
Il risultato atteso quindi è:
$C=-15*0,25+20*0,75/2-15*0,75/2=-1,875€$
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