3269623.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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3269623.

Messaggio da Bruno »

Prendiamo due numeri naturali: 1 e 3319.
Costruiamo una sequenza di dieci termini (inclusi i valori appena scritti), applicando questa regola dal terzo elemento in poi:
1 + 2·3319 = 6639,
3319 + 2·6639 = 16597,
6639 + 2·16597 = 39833, etc.
L'ottavo risultato calcolato è il numero palindromo 3269623.
Esistono altri due numeri naturali a e b, con a < b, con i quali si possa generare una sequenza simile in modo che il decimo termine sia ancora 3269623?
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Pasquale
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Re: 3269623.

Messaggio da Pasquale »

a = 986; b = 2911
a=1971; b = 2503

Ove si consentisse anche a>b, allora potremmo ottenere lo stesso palindromo pure con:

a = 2956; b = 2095
a = 3941; b = 1687
a = 4926; b = 1279
a = 5911; b = 871
a = 6896; b = 463
a = 7881; b = 55

NUOVA PROPOSTA:

Trovare a<b, con b palindromo, tale che con simile procedimento precedente, la sequenza venga avviata però con:
a + xb, ove x<10, in modo che il palindromo finale sia 354814418453.
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Bruno
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Re: 3269623.

Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:
gio ott 24, 2019 6:04 am
a = 986; b = 2911
a=1971; b = 2503

Ottimo, Pasquale :D

Si arriva alla diofantea lineare 408·a + 985·b = 3269623 con le risolventi a = 1 + 985·t e b = 3319 - 408·t.
Richiedendo il problema b > a, abbiamo giocoforza t = 0, 1 oppure 2.


Pasquale ha scritto:
gio ott 24, 2019 6:04 am

NUOVA PROPOSTA:

Trovare a<b, con b palindromo, tale che con simile procedimento precedente, la sequenza venga avviata però con:
a + xb, ove x<10, in modo che il palindromo finale sia 354814418453.

Ci penso :wink:

Intanto osservo, aggiornando il problema iniziale con la limitazione di a e b palindromi, che si ottengono alcune soluzioni curiose.
Eccone un paio, indicando i primi due termini e il decimo:
4, 77, 77477;
9, 2442, 2409042.
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Bruno
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Re: 3269623.

Messaggio da Bruno »

Con carta e penna ho ricavato i singoli termini, scoprendo un procedimento ricorsivo semplice e agile (l'ho evidenziato a matita).

b5-354814418453.jpg
b5-354814418453.jpg (25.31 KiB) Visto 6241 volte

Osservo che la somma dei coefficienti in ogni riga è un numero di Fibonacci.
Incuriosito, poco fa ho cercato in rete qualche riferimento su tali valori e ho appurato (me lo aspettavo) che sono già noti.
Torniamo a noi.
Il decimo termine è $\;\small b+4\cdot a\cdot x+10\cdot b\cdot x^2+10\cdot a\cdot x^3+15\cdot b\cdot x^4+6\cdot a\cdot x^5+7\cdot b\cdot x^6+a\cdot x^7+b\cdot x^8$.
Se ho capito bene, Pasquale, tu chiedi di trovare a e b, con b palindromo e maggiore di a, per x<10, in modo che la precedente espressione fornisca 354814418453.
Elenco le soluzioni per b che mi ha restituito un calcolatore (Magma) per x = 2 e x = 3:
x = 1: fino a $\;\small 10^7\;$ ci sono novantotto soluzioni ...
x = 2: 310252013, 310303013, 312353213, 312404213, 314454413, 314505413, 316555613, 316606613, 318656813, 318707813, 331474133, 331525133, 333575333, 333626333, 335676533, 335727533, 337777733, 337828733, 339878933, 339929933, 350595053, 350646053, 352696253, 352747253, 354797453, 354848453, 356898653, 356949653, 358030853, 358999853;
x = 3: 21166112.

Boh, sto scrivendo in fretta e poi il collegamento al forum è ballerino... non sono tanto sicuro che sia questo ciò che ti interessa :roll:
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Re: 3269623.

Messaggio da Pasquale »

Praticamente ho proposto lo stesso problema iniziale, con la differenza che il palindromo finale e il moltiplicatore di b sono diversi, oltre l'imposizione di un b anch'esso palindromo.
Inoltre, il moltiplicatore incognito di b non è 2, ma il suo valore è di grandezza moderata.
Comunque, io ho lavorato con forza brutina, per dare un po' di lavoro al Sign. Decimal, che oziava brutalmente in panciolle. :mrgreen:
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Re: 3269623.

Messaggio da Bruno »

a = 3021, b = 53135, x = 7.

(Mediante alcune semplici considerazioni sulla formula del decimo termine.)
(Bruno)

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Re: 3269623.

Messaggio da Pasquale »

Wellissimo :D Immaginavo che per te sarebbe stata una passeggiatina. Quali furono le considerazioni a ritroso?
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Re: 3269623.

Messaggio da Bruno »

Sintetizzo l'idea.
Considero il caso x=4.
Sostituisco nella formula del decimo termine e ottengo: 23184·a + 98209·b = 354814418453.
Il massimo comun divisore di 23184 e 98209 è 1.
Osservo che (23184²+1):98209 = 5473, pertanto:
-23184·23184 + 98209·5473 = 1, da cui ricavo:
a = 25744 + 98209·t, b = 3606773 - 23184·t (t $\epsilon \; \mathbb{N}$).
Qui ho 156 soluzioni positive per (a, b), ma nessuna contiene un b palindromo.
Lo stesso approccio adotto per gli altri moltiplicatori x fino a 7, avendo un drastico abbattimento dei casi da valutare e appurando che, per x > 7, a e b non possono essere entrambi positivi.
(Bruno)

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