Di questo passo...
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Di questo passo...
$\large 0, 1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567900, 12345679011, ...$
Qual è la somma dei primi 25 termini?
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(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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Re: Di questo passo...
.........12345679011, 123456790122, 1234567901233, ................. ( $a_n = 10*a_{n-1}+n-1$ ); per cui direi: 137174211248285322359360
In doppia precisione:
DIM a(1 TO 25)
LET a(1)=0
LET somma=0
FOR m=2 TO 25
LET a(m)=10*a(m-1)+m-1
LET somma=somma+a(m)
NEXT M
FOR m=1 TO 25
PRINT USING "##) ":m;
PRINT a(m)
NEXT M
PRINT
PRINT "somma =";somma
END
In doppia precisione:
DIM a(1 TO 25)
LET a(1)=0
LET somma=0
FOR m=2 TO 25
LET a(m)=10*a(m-1)+m-1
LET somma=somma+a(m)
NEXT M
FOR m=1 TO 25
PRINT USING "##) ":m;
PRINT a(m)
NEXT M
PRINT "somma =";somma
END
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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E' la somma che fa il totale (Totò)
Re: Di questo passo...
Touché
(Bruno)
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Re: Di questo passo...
Bravo Pasquale.
Programma breve e chiaro.
Volevo trovare una formula esplicita per la somma, ma sono molto lontano dal risultato.
In compenso, ho trovato sperimentalmente che la SOMMA è un numero ciclico (basta far stampare via via somma(m) dal programma di Pasquale e dimensionare a(500))
La sequenza che si ripete è formata da $81=3^4$ cifre ed è:
137174211248285322359396433470507544581618655692729766803840877914951989026063100...
che corrisponde al periodo della frazione:
$\large\frac{100}{729}=\frac{100}{3^6}$
Programma breve e chiaro.
Volevo trovare una formula esplicita per la somma, ma sono molto lontano dal risultato.
In compenso, ho trovato sperimentalmente che la SOMMA è un numero ciclico (basta far stampare via via somma(m) dal programma di Pasquale e dimensionare a(500))
La sequenza che si ripete è formata da $81=3^4$ cifre ed è:
137174211248285322359396433470507544581618655692729766803840877914951989026063100...
che corrisponde al periodo della frazione:
$\large\frac{100}{729}=\frac{100}{3^6}$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Di questo passo...
Bravo anche tu, Gianfranco
Le cifre, infatti, tendono a ripetersi nelle somme parziali secondo quell'ordine.
Vediamo allora cosa succede se moltiplichiamo ciascun numero della sequenza proposta per 81:
0·81 = 0 = 9 - 9·1,
1·81 = 81 = 99 - 9·2,
12·81 = 972 = 999- 9·3,
123·81 = 9963 = 9999 - 9·4,
1234·81 = 99954 = 99999 - 9·5,
12345·81 = 999945 = 999999 - 9·6,
123456·81 = 9999936 = 9999999 - 9·7, etc.
E intanto possiamo portare a casa una forma chiusa per il generico termine
Le cifre, infatti, tendono a ripetersi nelle somme parziali secondo quell'ordine.
Vediamo allora cosa succede se moltiplichiamo ciascun numero della sequenza proposta per 81:
0·81 = 0 = 9 - 9·1,
1·81 = 81 = 99 - 9·2,
12·81 = 972 = 999- 9·3,
123·81 = 9963 = 9999 - 9·4,
1234·81 = 99954 = 99999 - 9·5,
12345·81 = 999945 = 999999 - 9·6,
123456·81 = 9999936 = 9999999 - 9·7, etc.
E intanto possiamo portare a casa una forma chiusa per il generico termine
(Bruno)
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Re: Di questo passo...
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Re: Di questo passo...
Grazie al suggerimento di Bruno mi sembra che questa posa essere una forma chiusa accettabile:
edit
L'esponente di 10 nella formula sarebbe dovuto essere $i-1$ e non $n-1$; errore di digitazione
edit
L'esponente di 10 nella formula sarebbe dovuto essere $i-1$ e non $n-1$; errore di digitazione
Ultima modifica di franco il mer feb 27, 2019 3:17 pm, modificato 1 volta in totale.
Franco
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noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
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Re: Di questo passo...
Dalla formula di Franco:
$\large a_n=\frac{{{10}^{n}}-9 n-1}{81}$
Proseguendo le indagini sulla somma di primi n termini della successione ho trovato questa (per me) incredibile formula chiusa: la quale, semplificata, diventa:
$\large S_n=\frac{2\cdot {{10}^{n+1}}-81 {{n}^{2}}-99 n-20}{1458}$
Questo programmino DECIMAL-BASIC conferma che funziona:
Un'altra formula approssimata, basata sul numero ciclico è questa:
$\large S_n=int \left(\frac{100}{729}\cdot10^{n-1} \right)$
Per n che tende a infinito, il rapporto tra il valore esatto e quello approssimato tende a 1.
si ricava:$\large a_n=\frac{{{10}^{n}}-9 n-1}{81}$
Proseguendo le indagini sulla somma di primi n termini della successione ho trovato questa (per me) incredibile formula chiusa: la quale, semplificata, diventa:
$\large S_n=\frac{2\cdot {{10}^{n+1}}-81 {{n}^{2}}-99 n-20}{1458}$
Questo programmino DECIMAL-BASIC conferma che funziona:
Codice: Seleziona tutto
somma=0
FOR n=1 TO 100
LET an=(10^n-1-9*n)/81
LET somma=somma+an
LET sformula=(2*10^(n+1)-81*n^2-99*n-20)/1458
PRINT somma
PRINT sformula
PRINT "---"
NEXT n
END
$\large S_n=int \left(\frac{100}{729}\cdot10^{n-1} \right)$
Per n che tende a infinito, il rapporto tra il valore esatto e quello approssimato tende a 1.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Di questo passo...
Perfetto
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Re: Di questo passo...
io avevo ragionato così:
a1 = (9 - 9*1)/81 = 0
a2 = (99 - 9*2)/81 = (9*(10+1)-9*2)/81 = 1
a3 = (999 - 9*3)/81 = (9*(100+10+1)-9*3)/81 = 12
...
a7 = (9999999 - 9*7)/81 = (9*(1000000+100000+10000+1000+100+10+1)-9*7)/81 = 123456
da cui (dividendo per 9 entrambi i termini della frazione) la generalizzazione
ciao
Franco
a1 = (9 - 9*1)/81 = 0
a2 = (99 - 9*2)/81 = (9*(10+1)-9*2)/81 = 1
a3 = (999 - 9*3)/81 = (9*(100+10+1)-9*3)/81 = 12
...
a7 = (9999999 - 9*7)/81 = (9*(1000000+100000+10000+1000+100+10+1)-9*7)/81 = 123456
da cui (dividendo per 9 entrambi i termini della frazione) la generalizzazione
ciao
Franco
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Re: Di questo passo...
Concordo, ho eliminato l'osservazione.
@Bruno, ma tu sapevi già tutto e ci hai fatto lavorare così duramente?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Di questo passo...
Anch'io ho lavorato duramente, ma un po' prima di voi
(Bruno)
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