In questa ruota della fortuna la freccia è ferma mentre il disco può ruotare attorno al suo centro.
1) Si fa girare la ruota.
2) Se esce 5 € oppure 10 € si incassa la vincita scritta nel settore uscito e si gira di nuovo la ruota (in pratica si passa al punto 1).
3) Se esce "GAME OVER", la partita è finita.
Qual è la vincita attesa (o la media delle vincite) di una partita?
Le regole di una partita del gioco sono queste:Vincita attesa (facile)
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Vincita attesa (facile)
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Vincita attesa (facile)
rispondo di getto, dopo brevi compitazioni
la serie del rendimento atteso parte con 7,5
al secondo colpo, sale a 8,333
al terzo, 11,666
…
tende quindi a infinito?
Chiamo Cantor e chiedo
la serie del rendimento atteso parte con 7,5
al secondo colpo, sale a 8,333
al terzo, 11,666
…
tende quindi a infinito?
Chiamo Cantor e chiedo
Enrico
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Re: Vincita attesa (facile)
Anche se non so la risposta finale, a me vengono risultati diversi.
Le vincite attese, considerando partite che durano 1, 2, 3, 4, ... colpi mi vengono:
5 €
+3,333... € = 8,333
+2,222... € = 10,555
+1,481... € = 12,037
etc.
Immaginiamo di fare un numero illimitato di partite.
1/3 di queste finiscono al primo colpo perché esce GAME OVER.
1/3 danno una vincita di 5 €
1/3 danno una vincita di 10 €
Quindi la media dell'incasso di queste partite è 5/3+10/3=5€
Di questi 2/3 di partite che continuano oltre il primo colpo:
1/3 finiscono al secondo colpo perché esce GAME OVER.
1/3 danno una vincita di 5 €
1/3 danno una vincita di 10 €
Quindi la media dell'incasso di queste partite che sono arrivate al secondo colpo è 2/3*(5/3+10/3)=10/3=3,333...€
Sommiamo alla media precedente e abbiamo 5+3,333...=8,333...€
Ora i 2/3 dei 2/3 = (2/3)^2 delle partite giocate hanno diritto al terzo colpo:
1/3 di finiscono al terzo colpo perché esce GAME OVER.
1/3 danno una vincita di 5 €
1/3 danno una vincita di 10 €
Quindi la media dell'incasso di queste partite che sono arrivate al terzo colpo è (2/3)^2*(5/3+10/3)=20/9=2,222...€
Sommiamo alle medie precedenti e abbiamo 5+3,333...+2,222...=10,555...
Se andiamo avanti allo stesso modo, ogni volta si aggiunge sempre meno è PUO' ESSERE che la somma delle medie non cresca all'infinito ma abbia un limite finito.
Le vincite attese, considerando partite che durano 1, 2, 3, 4, ... colpi mi vengono:
5 €
+3,333... € = 8,333
+2,222... € = 10,555
+1,481... € = 12,037
etc.
Immaginiamo di fare un numero illimitato di partite.
1/3 di queste finiscono al primo colpo perché esce GAME OVER.
1/3 danno una vincita di 5 €
1/3 danno una vincita di 10 €
Quindi la media dell'incasso di queste partite è 5/3+10/3=5€
Di questi 2/3 di partite che continuano oltre il primo colpo:
1/3 finiscono al secondo colpo perché esce GAME OVER.
1/3 danno una vincita di 5 €
1/3 danno una vincita di 10 €
Quindi la media dell'incasso di queste partite che sono arrivate al secondo colpo è 2/3*(5/3+10/3)=10/3=3,333...€
Sommiamo alla media precedente e abbiamo 5+3,333...=8,333...€
Ora i 2/3 dei 2/3 = (2/3)^2 delle partite giocate hanno diritto al terzo colpo:
1/3 di finiscono al terzo colpo perché esce GAME OVER.
1/3 danno una vincita di 5 €
1/3 danno una vincita di 10 €
Quindi la media dell'incasso di queste partite che sono arrivate al terzo colpo è (2/3)^2*(5/3+10/3)=20/9=2,222...€
Sommiamo alle medie precedenti e abbiamo 5+3,333...+2,222...=10,555...
Se andiamo avanti allo stesso modo, ogni volta si aggiunge sempre meno è PUO' ESSERE che la somma delle medie non cresca all'infinito ma abbia un limite finito.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Vincita attesa (facile)
Senza formalizzazione, per ogni giro della ruota la vincita attesa è $\left(10+5+0\right)/3=5$ mentre la probabilità di fare il primo giro è $1$, per il secondo è $2/3$, per il terzo $4/9$ ecc.
Allora $5\left(1+2/3+4/9+\cdots\right) = 5\cdot3=15$.
Allora $5\left(1+2/3+4/9+\cdots\right) = 5\cdot3=15$.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
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Re: Vincita attesa (facile)
Grazie Panurgo, per la spiegazione breve e molto chiara.
Per una via un po' piu contorta ero giunto alla stessa soluzione e la tua risposta da esperto mi rassicura.
Penso di fare un articoletto sul sito su questa famiglia di problemi.
Per una via un po' piu contorta ero giunto alla stessa soluzione e la tua risposta da esperto mi rassicura.
Penso di fare un articoletto sul sito su questa famiglia di problemi.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
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Re: Vincita attesa (facile)
Ed infatti andiamo a giocare praticamente:
RANDOMIZE
LET S=0
FOR m=1 TO 100000
DO
LET x=INT(RND*3)
IF x=0 THEN
EXIT do
ELSE
LET S=S+5*x
END IF
LOOP
NEXT M
LET Media=S/100000
PRINT Media
END
RANDOMIZE
LET S=0
FOR m=1 TO 100000
DO
LET x=INT(RND*3)
IF x=0 THEN
EXIT do
ELSE
LET S=S+5*x
END IF
LOOP
NEXT M
LET Media=S/100000
PRINT Media
END
_________________
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)