Alcune sequenze.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Bruno
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Alcune sequenze.

Messaggio da Bruno »

Partiamo da 22 ed eseguiamo questo calcolo:$\;$ 22·4+2° = 89.
Consideriamo ora 89:$\;$ 89·4+2¹ = 358.
Passiamo a 358:$\;$ 358·4+2² = 1436.
E poi ancora:$\;$ 1436·4+2³ = 5752.

Così facendo, otteniamo la sequenza:$\;$ 22, 89, 358, 1436, 5752, 23024, 92128, 368576, 1474432, 5897984, ...

Moltiplicando 22 per 40 (880), generiamo questa ulteriore sequenza:$\;$ 880, 88011, 8801111, 880111111, 88011111111, ...
Operiamo nello stesso modo con 89 (89·40 = 3560) e scriviamo:$\;$ 3560, 356011, 35601111, 3560111111, 356011111111, ...
Quindi passiamo a 358 (358·40 = 14320):$\;$ 14320, 1432011, 143201111, 14320111111, 1432011111111, ...

Gli infiniti termini delle ultime tre sequenze create godono tutti di una stessa proprietà. Qual è?
(Bruno)

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Pasquale
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Pasquale »

A prima vista direi che, a partire da $N_2$, ogni termine $N_i = 100 \cdot N_{i-1}+11$, talché le prime cifre di ogni $N_i$ sono le stesse di $N_1$, seguite da una quantità di cifre 1 pari a 2i-2.
Per cui, potremmo più genericamente dire che dato $N_1$:

$N_i = N_1 \cdot 10^{2i-2}+(10^{2i-2}-1)/9$

Non so se è questo che intendevi.
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Bruno
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Bruno »

Pasquale, sì, possiamo costruire quei numeri nel modo che hai indicato. Ma il loro particolare aspetto grafico, diciamo così, ci offre già una via
soddisfacente per scriverne quanti ne vogliamo.

I termini delle tre sequenze (alle quali potremmo aggiungerne infinite altre, come abbiamo visto) appartengono a una ben più ampia famiglia
di numeri che condividono la stessa proprietà e tuttavia, nel loro insieme, essi appaiono abbastanza amorfi.

Faccio un esempio.

La sequenza $\,$ ..., 46800, 47815, 48107, 49136, 49432, 50475, 50775, 51832, ... $\,$è un segmento della più ampia famiglia di numeri di cui dicevo
prima. Anche in questo caso, scegliendo di partire da 48107, potremmo scrivere $\,$ 4810711, 481071111, 48107111111, ... $\,$ e affermare che pure
tali valori presentano la proprietà che dobbiamo ancora scoprire.
Determinare $\,$ 46800, 47815, 48107 $\,$ e tutti quelli che precedono e seguono, però, non è così facile come trovare $\,$ 880, 3560, 14320 $\;$etc., calcolati
con relativa semplicità passando attraverso le potenze di 2 e una moltiplicazione finale per 40.

Nello studio delle sequenze, trovare la regola generale per individuare tutti i termini è senza dubbio importante, ma a volte limitarsi a
esaminare una sottosequenza aiuta a far emergere dei patterns, delle configurazioni, interessanti.

È un po' come seguire i movimenti delle linee in un tronco sezionato: sicuramente una singola linea non rappresenta tutto il tronco, comunque
può raccontarci qualcosa su come esso si è strutturato :D
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Bruno
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Bruno »

Volendo, anche la formula di Pasquale ci può permettere di indovinare la proprietà dei numeri visti sopra.
Hanno a che fare con i numeri quadrati :D
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Pasquale
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Pasquale »

Non mi è chiaro, ma guardando l'esempio 46800, 47815, 48107, 49136, 49432, 50475, 50775, 51832, ....l'unica cosa che ho notato è che trattasi di numeri compresi fra due quadrati le cui radici distano fra loro di 2,1,2,1,2,1...unità (217,219,220,222,223,225,226...).
Sarebbe accaduto lo stesso se la sequenza fosse stata: 46800, 47814, 48110, 49135, 49433, 50471, 50776, 51830. Vado a tentoni.
Questi numeri sono poi desinati ad essere seguiti dalle varie coppie 11?
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Bruno
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Bruno »

Fochino.

Però i termini della tua sequenza, dopo il primo, non presentano quella proprietà.

Pasquale ha scritto:Questi numeri sono poi desinati ad essere seguiti dalle varie coppie 11?
:D

Aggiungendo a piacere delle coppie di 1 si ottengono numeri su cui possiamo "operare" in un certo modo per mettere in luce la loro proprietà.




PS. Nella tua firma, Pasquale, non si vede più la manina che saluta :( Te ne sei accorto?
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Pasquale
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Pasquale »

Strano, chi s'è fregato la manina? Appena ho tempo devo dare uno sguardo in profondità. Io non l'ho cancellata...vedremo. Grazie.

Per il quesito, direi che più di fuochino mi scotterei.
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Bruno
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Bruno »

No che non ti scotti, tu sei ignifugo :D

Pasquale, le coppie di $\;1\;$ sono un po' le protagoniste delle cose scritte finora, direi.

Tu come collegheresti gli interi formati soltanto da un numero pari di $\;1\;$ a dei quadrati perfetti?
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Pasquale
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Pasquale »

Boh, che dire?

Noto che i numeri del tipo $\text N=\frac{10^{2k}-1}{9} con k>0$, formati da una quantità pari di 1, sono compresi fra due quadrati $\text A^2 ed (A+1)^2, con A=\frac{10^k-1}{3}$

A titolo di esempio (con Decimal Basic, inserire la doppia precisione):

FOR k=1 TO 10
LET a=(10^k-1)/3
LET n=(10^(2*k)-1)/9
PRINT a^2;n;(a+1)^2
NEXT K
END

Si ricava al contrario che, dati $\text A=\frac{10^k-1}{3} e B=\frac{10^{2k}-3\cdot 10^k+2}{9}$, A+B è uguale a tanti 1 quanti 2k

FOR k=1 TO 10
LET a=(10^k-1)/3
LET b=(10^(2*k)-3*10^k+2)/9
PRINT a+b
NEXT K
END
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Bruno
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Bruno »

Ok. Guarda il tuo N, Pasquale: con due semplici operazioni ci porta dritti dritti verso un certo tipo di quadrati, e quindi... :wink:
(Bruno)

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vittorio
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da vittorio »

Prima sequenza.
Si tratta di una successione ricorsiva lineare con primo termine $S_1=22$, $S_2=4\cdot S_1+1$, $S_{n+1}=2^n+4\cdot S_n$.
Quest'ultima si può ridurre a $S_{n+2}=6\cdot S_{n+1}-8\cdot S_n$. L'equazione caratteristica è $t^2=6t-8$ che ha radici 4 e 2 da cui la soluzione generale $S_n=x\cdot 4^n + y\cdot 2^n$ con x e y da determinarsi in base ai valori iniziali $S_1$ e $S_2$.
Sostituendo si ottiene $S_n=(2S_1 +1)\cdot 2^{2n-3} - 2^{n-2}$
Anche le ulteriori sequenze possono ricondursi a successioni lineari ricorsive.
Sia $T_1= 40\cdot k$ con k termine generico della successione S. Allora $T_2=100\cdot T_1 + d$, con d=11, $T_{n+1}=100\cdot T_n +d$.
Si ottiene $T_{n+2}=101\cdot T^{n+1} - 100\cdot T_n$ di equazione caratteristica $t^2=101t-100$ con radici 1 e 100 e soluzione generale $T_n=x\cdot 10^{2n}+y$. Tenendo conto dei termini iniziali $T_1$ e$T_2$ si ricava $T_n = (d+99T_1)\cdot 10^{2(n-1)}/99 - d/99$.

Nel caso specifico d=11 e $T_1$ è un termine generico di deponente p della successione S quindi sostituendo e riducendo si ottiene

$T_n = (45\cdot 2^p -1)^2 \cdot 10^{2(n-1)}/9 - 1/9$


Si ha quindi che "sommando 1/9 ad un qualsiasi termine di una qualsiasi successione T si ottiene un quadrato perfetto".

Vittorio
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Bruno
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Bruno »

Ottimo, Vittorio :D

Nella tua conclusione, però, dovremmo "moltiplicare per 9 e sommare 1", dico bene?


La costruibilità grafica di particolari termini della sequenza "madre" può esprimersi in maniera diversa, naturalmente.
Per esempio, così:

10892200, 110889222000, 1110888922220000, 11110888892222200000, 111110888889222222000000, 1111110888888922222220000000, ...

la cui forma chiusa è $\large \; \frac{10^n \cdot (10^n - 1) \cdot (10^{2n} - 10^n + 2)}{9}$.
(Bruno)

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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Pasquale »

Troppo complicato per me. La conclusione di Vittorio:

$T_n = (45\cdot 2^p -1)^2 \cdot 10^{2(n-1)}/9 - 1/9 +1/9 = (45\cdot 2^p -1)^2 \cdot 10^{2(n-1)}/9$

produce egualmente un quadrato, mi pare.
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Bruno »

Sì, ma non è intero.

Applicando la regola finalmente trovata, cioè moltiplicando per 9 e aggiungendo 1, si ottiene invece un quadrato intero.
Pasquale ha scritto:Troppo complicato per me.
Pasquale, nella tua lunga carriera di matematico ricreativo hai affrontato (e brillantemente) cose ben più complicate :D
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Re: Alcune sequenze.

Messaggio da Pasquale »

Ok, Bruno. Devo però aggiungere che matematico non fui e non sono; poi, secondo i momenti e le varie antiche reminiscenze, che vanno sempre più a scemare, una cosa riesce oppure no. Comunque, meno male che c'è Base5.
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