5 no, ma 50 sì!

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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5 no, ma 50 sì!

Messaggio da Bruno »

Abbiamo:

$\displaystyle p^{8n}+3\cdot p^{4n}-4\,$,

con p ed n entrambi interi ed n non negativo.
Se p non è divisibile per 5, l'intera espressione è senz'altro un multiplo di 50.
(Bruno)

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Edmund
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Messaggio da Edmund »

L'intera espressione, essendo multipla di 50, può essere riscritta così:

X^2 + 3*X - K = 0

dove X = P^4n e K=4+50*N con N naturale


Risolvendo l'equazione si ottiene

P^4n = [5*SQR(8*N+1) - 3]/2

SQR(8*N+1) è un quadrato perfetto solo se N è triangolare, per cui

P^4n assumerà solo i valori 6, 11, 15 , 21 , 26, ....., cioè

P^4n = 5*t + 1 (t numero naturale)

in altre parole P^4n deve terminare o per 1 o per 6,
e questo si può solo verificare se P non è multiplo di 5,
in quanto qualsiasi potenza di un numero che termina per 0 o per 5
termina sempre per 0 o per 5.

Ciao.

leandro
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Messaggio da leandro »

Edmund ha scambiato ipotesi con tesi.
Salvo miei errori, il quesito si risolve facilmente col (piccolo) teorema di Fermat.
Osserviamo preliminarmente che il numero N proposto si puo' scomporre cosi':
$N=(p^{4n}-1)(p^{4n}+4)$
e da quì si deduce che N e' certamente pari poiche' dei 2 fattori uno e'
sicuramente pari ,quali che siano p ed n.
Ora,essendo 5 primo e p primo con 5, per Fermat risulta:
$p^4\equiv 1 (mod 5)$ od anche (a) $p^{4n}\equiv 1 (mod 5)$
e da cio' segue che il fattore $p^{4n}-1$ e' divisibile per 5.
Ancora da (a) si ha:
$p^{4n}+4\equiv 5(mod5)$ e questo dimostra che anche il fattore $p^{4n}+4$ e' divisibile per 5.
In conclusione N e' divisibile per $2*5^2=50.$
Leandro

Pasquale
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Messaggio da Pasquale »

Bravissimo Leandro....una riflessione/verifica che scaturisce dal fatto che per le mie limitazioni non conosco Fermat:

se p non è divisibile per 5, allora p mod 5 può variare fra 1 e 4, per cui:

se p mod 5 = 1, $p^4$mod 5 = 1x1x1x1 = 1
se p mod 5 = 2, $p^4$ mod 5 = 2x2x2x2 mod 5 = 16 mod 5 =1
se p mod 5 = 3, $p^4$ mod 5 = 3x3x3x3 mod 5 = 81 mod 5 = 1
se p mod 5 = 4, p$^4$ mod 5 = 4x4x4x4 mod 5 = 256 mod 5 = 1

da cui discende che n è ininfluente e che ($p^4$ - 1) mod 5 = 0.
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Edmund
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Messaggio da Edmund »

Credo che non sia matematicamente illecito scambiare ipotesi con tesi in una dimostrazione.

Forse può sembrare non chiara la mia affermazione che N deve essere necessariamente triangolare, ma per fretta e pigrizia ho saltato alcuni passaggi:

SQR(8*N+1) = q

N = (q^2-1)/8

N è intero se (q^2-1) è divisibile per 8 cioè se è pari,
q^2 deve essere dispari e quindi anche q deve essere dispari.
q dispari vuol dire che posso rappresentarlo come q = 2*t+1

sostituendo sopra e ricavando N:

SQR(8*N+1) = 2*t + 1

8*N+1 = 4*t^2 + 4*t + 1

N = t*(t+1)/2 numero triangolare


Sostituendo (2*t+1) nella P^4n = [5*SQR(8*N+1) - 3]/2
otteniamo

P^4n = [5*(2*t+1) - 3]/2 ---> P^4n = 5*t + 1

che non è divisibile per 5 (resto=1)

(5*t+1)mod5 = (5*t)mod5 + 1mod5 = 0 + 1 = 1

Ciao.

Bruno
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Messaggio da Bruno »

Grazie delle tue precisazioni, Edmund!
In effetti, a me è piaciuto il tuo approccio :D
Naturalmente, trovo molto interessanti anche gli altri interventi.
(Bruno)

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leandro
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Messaggio da leandro »

Scambiare ipotesi con tesi equivale a dimostrare il teorema inverso
di quello dato,lasciando il dubbio che quest'ultimo non sia vero
(almeno fin quando non lo si dimostri,cosi' come ho fatto io!).
La matematica e' zeppa di teoremi che non ammettono inverso
o che comunque richiedono una ulteriore dimostrazione.
Ne faccio un esempio io (banalissimo!!).
Un numero divisibile per 10 e' divisibile anche per 2.
Ora mi domando:chi mai potra' dimostrare anche il reciproco?
Oppure:se due triangoli hanno i tre lati congruenti hanno anche
gli angoli congruenti.
Il reciproco sara' vero?
Questo per la precisione,per il resto la dimostrazione di Edmund
pare anche a me bene organizzata.
Leandro

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