$1999^4+4$
è multiplo di 3? È multiplo di 5?
Dimostrazione.
Ciao

non e`difficile capire se e`multiplo di 3....
prendo 1998 che e`divisibile per 3
$1999=1998+1\\1999^4=\(1998+1)^4=\(1998^2+2\cdot 1998+1\)^2$

di sicuro mi dara`1 come resto della divisione per 3, essendo l'unico termine che non e`moltiplicato per 1998.
Sviluppando il quadrato tutti i termini sono moltiplicati almeno una volta per 1998 tranne 1 che sara`quindi il resto della divisione per 3.

aggiungendo 4, ottengo 2 come resto della divisione del risultato finale.

Con lo stesso ragionamento posso verificare il resto della divisione per 5,
prendo in questo caso 1995 che e`il numero divisibile piu`vicino
$1999=1995+4\\1999^4=\(1995+4)^4=\(1995^2+2\cdot 1995\cdot 4+16\)^2$

di sicuro mi dara`16 (quindi 1) come resto della divisione per 5, essendo l'unico termine che non e`moltiplicato per 1995.
Sviluppando il quadrato tutti i termini sono moltiplicati almeno una volta per 1995 tranne 16 che e`moltiplicato per se stesso dando 256 quindi 1 come resto della divisione per 5

aggiungendo 4, ottengo la dimostrazione che il risultato e`divisibile per 5

la divisibilità per 5 è dimostrabile constatando che le potenze dei numeri che finiscono in 9, finiscono alternativamente in 1 e in 9. per cui xxx9 elevato ad una potenza pari finisce in 1. +4...il gioco è fatto

Potenza dell'aritmetica modulare.

a) Calcoliamo in MODULO 3
$1999 = 1$ (mod 3)
$4 = 1$ (mod 3)
$1999^4 = 1^4 = 1)$ (mod 3)
$1999^4 + 4 = 1 + 1 = 2$ (mod 3)
Perciò $(1999^4 + 4) : 3$ dà come resto 2

b) Calcoliamo in MODULO 5 (a modo mio)
$1999 = -1$ (mod 5)
$4 = -1$ (mod 5)
$1999^4 = (-1)^4 = 1$ (mod 5)
$1999^4 + 4 = 1 -1 = 0$ (mod 5)
Perciò $(1999^4 + 4) : 5$ dà come resto 0

La matematica "approssimativa" è affascinante!
Ecco le soluzioni che conosco:

1)È multiplo di 5 in quanto $1999^4$ termina per 1; se ad esso sommiamo 4
il numero terminerà per 5 e quindi è divisibile per 5.
[questa è identica alla dimostrazione di Enrico]

2)Non è multiplo di 3.
Dimostrazione:
$1999^4$ non è multiplo di 3 e si può scrivere come 3x+1.
se indichiamo con a e b i due addendi, ossia:
a = 3x
b = 1

Il binomio (3x+1) elevato alla quarta potenza: $(a+b)^4$
si può scrivere (si pensi al triangolo di Tartaglia e Binomio di Newton)

$a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

I primi 4 termini contengono a (nel nostro caso 3x) e sono multipli di 3.
L'ultimo è 1; se ad esso aggiungiamo 4, otterremo 5 quindi
il numero non sarà multiplo di 3. E poiché termina con 5 sarà divisibile per 5.

Questa mi sembra analoga alla soluzione di Info.

Quella di Gianfranco con le congruenze, è un metodo ulteriore elegante
e sbrigativo che mi ricorda questo post:

https://www.base5forum.it/radice-digitale-t7882.html
Saluti.peppe