Problema su potenze
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Problema su potenze
Dimostrare che $e^p >p^e$, e e' il numero di Nepero e p pgreco.
Re: Problema su potenze
Questo quesito mi ricorda un vecchio post del 2011 dal titolo "confronti" .
Esattamente l'intervento di sab apr 30, 2011 7:05 pm, che si trova
in fondo a questa pagina:
https://www.base5forum.it/confronti-t1364.html
Dimostrare (per approssimazioni successive) senza l’uso della calcolatrice e
con le sole operazioni di potenza e radice che pi^e < 24.
Ora resto in attesa della soluzione per allungare la lista delle mie "curiosità". Ciao.
Esattamente l'intervento di sab apr 30, 2011 7:05 pm, che si trova
in fondo a questa pagina:
https://www.base5forum.it/confronti-t1364.html
Dimostrare (per approssimazioni successive) senza l’uso della calcolatrice e
con le sole operazioni di potenza e radice che pi^e < 24.
Ora resto in attesa della soluzione per allungare la lista delle mie "curiosità". Ciao.
Peppe
Re: Problema su potenze
Questo quesito l'avevo trovato in un libro di rompicapo che non dava la soluzione, solo con la calcolatrice ho trovato che $e^p$ è tra i due il numero più grande. Ho cercato una soluzione analitica ma al massimo sono riuscito a trovare espressioni equivalenti tipo:$p>e*ln(p)$. Credo che l'unica soluzione senza usare la calcolatrice siano le approssimazioni successive.
Re: Problema su potenze
Trascrivo da qui:
https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 017AAtf49j
la risposta di Trig86
[...]
Molto molto carina la domanda...ti dico come farei io!
dunque, innanzitutto riscriviamo pi^(e) così:
pi^(e)= e^(e*log(pi))
Chiunque mastichi un minimo di matematica sa che quest'uguaglianza è vera.
Quindi ora confrontiamo
e^(pi) con e^(e*log(pi))
Poiché la base è identica, basta vedere quale dei 2 esponenti è maggiore
Ovvero:
è maggiore pi, oppure e*log(pi)?
Come prima, scriviamo
pi come e^(log(pi))
Quindi il confronto si riduce a vedere chi è più grande tra
e^(log(pi)) ed e*log(pi)
Poiché log(pi) è un numero maggiore di 1, è chiaro che fra i due termini
il maggiore è e^log(pi).
Infatti in generale e^a è maggiore di e*a, per ogni a>1
Quindi è più grande e elevato pigreco!
Credo che questa dimostrazione sia valida anche se l'ho scritta un po' alla buona
Occhio falcidia(*) coi metodi troppo sbrigativi...il risultato ti è venuto sbagliato!
Ciao! Trig86
[...]
--
(*)Falcidia aveva risposto:
[...]
"pigreco elevato alla e"
Dimostrazione: approssimando e=2 e pi greco=3.
2^3 = 8 mentre
3^2 = 9.
Personalissimo metodo sbrigativo ma efficace!!!
[...]
Un'altra dimostrazione l'ho trovata qui:
https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 308AAd43W6
e^TT > TT^e
( applichi il ln ad entrambi)
TT> ln TT^e
(proprietà dei logaritmi)
TT> e*lnTT
ricordando che:
TT = 3,14
e = 2,71
lnTTsarà intorno ad uno perchè 3,14>2,7
quindi:
3,14> 2,7 * 1,1
3,14> 2,97
Ruth
Saluti.peppe
https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 017AAtf49j
la risposta di Trig86
[...]
Molto molto carina la domanda...ti dico come farei io!
dunque, innanzitutto riscriviamo pi^(e) così:
pi^(e)= e^(e*log(pi))
Chiunque mastichi un minimo di matematica sa che quest'uguaglianza è vera.
Quindi ora confrontiamo
e^(pi) con e^(e*log(pi))
Poiché la base è identica, basta vedere quale dei 2 esponenti è maggiore
Ovvero:
è maggiore pi, oppure e*log(pi)?
Come prima, scriviamo
pi come e^(log(pi))
Quindi il confronto si riduce a vedere chi è più grande tra
e^(log(pi)) ed e*log(pi)
Poiché log(pi) è un numero maggiore di 1, è chiaro che fra i due termini
il maggiore è e^log(pi).
Infatti in generale e^a è maggiore di e*a, per ogni a>1
Quindi è più grande e elevato pigreco!
Credo che questa dimostrazione sia valida anche se l'ho scritta un po' alla buona
Occhio falcidia(*) coi metodi troppo sbrigativi...il risultato ti è venuto sbagliato!
Ciao! Trig86
[...]
--
(*)Falcidia aveva risposto:
[...]
"pigreco elevato alla e"
Dimostrazione: approssimando e=2 e pi greco=3.
2^3 = 8 mentre
3^2 = 9.
Personalissimo metodo sbrigativo ma efficace!!!
[...]
Un'altra dimostrazione l'ho trovata qui:
https://it.answers.yahoo.com/question/i ... 308AAd43W6
e^TT > TT^e
( applichi il ln ad entrambi)
TT> ln TT^e
(proprietà dei logaritmi)
TT> e*lnTT
ricordando che:
TT = 3,14
e = 2,71
lnTTsarà intorno ad uno perchè 3,14>2,7
quindi:
3,14> 2,7 * 1,1
3,14> 2,97
Ruth
Saluti.peppe
Peppe
Re: Problema su potenze
Per approfondire:
http://web.mclink.it/MC5834/giochi8.htm
http://web.mclink.it/MC5834/solgio8.htm
D'avvero un gran bel sito questo del Prof. La Posta. Lo conosco da moltissimi anni:
http://web.mclink.it/MC5834/corrado.htm
Divagazioni sul tema..."Il pigro pigreco e l'evanescente e". Un tarlo che mi perseguita ecc.ecc.
https://groups.google.com/forum/#!topic ... e5bVsAjQq8
Credo che possa bastare.
Ciao.
http://web.mclink.it/MC5834/giochi8.htm
http://web.mclink.it/MC5834/solgio8.htm
D'avvero un gran bel sito questo del Prof. La Posta. Lo conosco da moltissimi anni:
http://web.mclink.it/MC5834/corrado.htm
Divagazioni sul tema..."Il pigro pigreco e l'evanescente e". Un tarlo che mi perseguita ecc.ecc.
https://groups.google.com/forum/#!topic ... e5bVsAjQq8
Credo che possa bastare.
Ciao.
Peppe
-
- Supervisore del sito
- Messaggi: 1714
- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Re: Problema su potenze
Questa è la mia dimostrazione, senza usare gli sviluppi in serie.
Vogliamo dimostrare che:
$e^\pi>\pi^e$
Partiamo da una considerazione generale, confrontando le funzioni $e^x$ ed $x^e$
Consideriamo quindi la funzione:
$y=e^x-x^e$
Troviamo se e dove tale funzione ha un minimo.
La derivata prima è:
$y' = e^x - e x^{e-1}$
Tale derivata si annulla per:
$e^x = e x^{e-1}$
Dividiamo per e:
$e^{x-1} = x^{e-1}$
ovvero:
$\Large \frac{e^x}{e} = \frac{x^e}{x}$
Straordinariamente si vede a occhio che l'uguaglianza è vera per $x=e$.
Perciò la funzione ha un minimo per $x=e$, dove vale $y=0$.
Quindi, per $x \neq e$ la funzione è $y>0$.
In particolare, poiché $\pi \neq e$, la funzione è positiva per $x=\pi$
Ovvero:
$e^\pi-\pi^e>0$
Cioè, in conclusione:
$e^\pi>\pi^e$
Vogliamo dimostrare che:
$e^\pi>\pi^e$
Partiamo da una considerazione generale, confrontando le funzioni $e^x$ ed $x^e$
Consideriamo quindi la funzione:
$y=e^x-x^e$
Troviamo se e dove tale funzione ha un minimo.
La derivata prima è:
$y' = e^x - e x^{e-1}$
Tale derivata si annulla per:
$e^x = e x^{e-1}$
Dividiamo per e:
$e^{x-1} = x^{e-1}$
ovvero:
$\Large \frac{e^x}{e} = \frac{x^e}{x}$
Straordinariamente si vede a occhio che l'uguaglianza è vera per $x=e$.
Perciò la funzione ha un minimo per $x=e$, dove vale $y=0$.
Quindi, per $x \neq e$ la funzione è $y>0$.
In particolare, poiché $\pi \neq e$, la funzione è positiva per $x=\pi$
Ovvero:
$e^\pi-\pi^e>0$
Cioè, in conclusione:
$e^\pi>\pi^e$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco