n - n^5

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Bloccato
Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

n - n^5

Messaggio da Pasquale »

Scusate: ieri sera c'era, ma oggi non più...era un problema di Bruno, col quale si asseriva che n ed $n^5$ terminano con la stessa cifra.

Dal momento che di recente si è discusso un topic sull'aritmetica modulare, vediamo di utilizzarla per questa dimostrazione, giocandoci un po'.

Intendo che sia $0\le n\le9$, non essendo sempre verificata la tesi per n > 9 (vince chi trova il più grande n) e chiaramente non starò a calcolare tutti gli $n^5$.

Dunque, se è vera la tesi, deve essere $n^5 = 10a + n$ , con a intero positivo, e quindi:

$\text 1) a = \frac{n(n^4-1)}{2\cdot5}$

Tralasciando il caso di n = 0, troppo evidente ( ma volendo si potrebbero tralasciare anche i casi di n = 1,5,6), con riferimento alla 1), si presentano i seguenti casi:

A) n pari:
$\text bisogna dimostrare che (n^4-1) Mod 5 = 0, ovvero che n^4 mod 5 = 1, ovvero che 16k^4 mod 5 =1, ovvero che$
$\text k^4 mod 5 = 1; per 1\le k\le 4$

B) n dispari, ma diverso da 5:
$\text bisogna dimostrare che (n^4 -1) Mod 10 = 0, ovvero che n^4 mod 10 = 1, ovvero che$
$\text (2k + 1)^4 mod 10 =1; per 0\le k\le 4 e k \neq 2$

C) n = 5: non credo sia necessario dilungarsi sulle ragioni per cui la 1) resta dimostrata

Caso A):

$\text se k = 1; 1^4 mod 5 = 1$
$\text se k = 2; 2^4 mod 5 = 2\cdot2^3 mod 5 = 2\cdot3 mod 5 = 6 mod 5 = 1$
$\text se k = 3; 3^4 mod 5 = 3\cdot3^3 mod 5 = 3\cdot2 mod 5 = 6 mod 5 = 1$
$\text se k = 4; 4^4 mod 5 = 4^2\cdot4^2 mod 5 = 1\cdot1 = 1$

caso B) :

$\text se k = 0; 1^4 = mod 10 = 1$
$\text se k = 1; 3^4 mod 10 = 3\cdot3^3 = 3\cdot7 mod 10 = 21 mod 10 = 1$
$\text se k = 3; 7^4 mod 10 = 7^2\cdot7^2 mod 10 = 9\cdot9 mod 10 = -1(-1) = 1$
$\text se k = 4; 9^4 mod 10 = 9^2\cdot9^2 mod 10 = 1\cdot1 = 1$
Ultima modifica di Pasquale il ven mar 10, 2006 12:24 am, modificato 2 volte in totale.
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno »

:oops: l'ho eliminato io...
Il motivo era questo: mi sono accorto che Pietro sta facendo dei recuperi
e quindi ho pensato che (chissà) arrivasse il turno anche del topic sparito per
il recente guasto del forum (nel quale aveva postato un proprio intervento
pure 0-§) e non volevo che si producessero dei doppioni.
Però va benissimo così, Pasquale, 0-§ reinserirà nuovamente la sua versione
(se ne avrà voglia). Anzi: scusami per averti fatto sparire qualcosa su cui stavi
lavorando!
Intanto grazie,

Bruno
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Messaggio da 0-§ »

Mah,la mia soluzione non era poi niente di che:considerando che ogni numero N di due o più cifre si può intendere come 10a+b,dove B é la cifra delle unità del numero in questione(quindi B è compreso tra 0 e 9),elevando alla quinta e sfruttando il teorema binomiale trovo che N alla quinta equivale ad una serie di multipli decrescenti di 10 più B elevato alla quinta(per l'esattezza $(10a+b)^5$=multiplo di 10000+multiplo di 1000+multiplo di 100+multiplo di 10+B alla quinta),quindi ad un multiplo di 10 più B alla quinta.Ossia vedo che la cifra delle unità di N alla quinta equivale alla cifra delle unità di B alla quinta,perché i multipli di 10 hanno ovviamente cifra delle unità pari a zero.Ma siccome B è compreso tra zero e nove,mi basta verificare(con una calcolatrice) che l'ultima cifra delle potenze quinte dei numeri compresi tra zero e nove corrispondono ai numeri stessi.Voilà,o se preferite QED.
La dimostrazione non é elegante né immediata,ma sicuramente é rapida e valevole come risultato pratico.
Bruno,io aspetto ancora il gelato! :wink: Il Gelatauro andrà benone...
Saluti,salutoni e salutissimi
Giovine Mottolo
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Messaggio da Pasquale »

Va bene. Comunque se c'è un doppione, uno dei due può essere cancellato, dopo aver travasato i nuovi interventi
nel vecchio topic (partendo dall'ultimo, ognuno cancella il proprio intervento, in modo che il primo può cancellare tutto).
Ultima modifica di Pasquale il ven mar 10, 2006 12:53 am, modificato 1 volta in totale.
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Messaggio da Pasquale »

Per quanto riguarda il più grande n, ho trovato che che $n^5$ termina con le stesse cifre di n, per:
n=9999999999999999999999999.................(quanti 9 si voglia): chissà perché!?
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 2020
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Messaggio da Bruno »

0-§ ha scritto:Bruno, io aspetto ancora il gelato!
...ebbene, intanto eccotene uno appena fatto! (Clicca.) :D

Grazie, Pasquale, per le tue indicazioni.

Torno un attimo sul quesito per dire come a me è capitato di ragionare
(è poi solo una variazione sul tema).

Se $\displaystyle n^5$ ed $\displaystyle n$ hanno la stessa cifra finale, significa che $\displaystyle n^5-n$ dev'essere
divisibile per $10$.
Innanzitutto, osservo che $\displaystyle n^5$ ed $\displaystyle n$ sono entrambi pari oppure dispari,
quindi la loro differenza è sempre divisibile per $2$.
Poi scrivo tale differenza in questo modo:

$\displaystyle n^5-n = n(n-1)(n+1)(n^2+1).$

Se esprimessi $\displaystyle n$ rispetto ai multipli $5$, otterrei una sola di queste forme:

$\displaystyle 5h, \, 5h\pm 1, \, 5h\pm 2$

ed $\displaystyle n^2$, scritto sempre rispetto a $5$, avrebbe rispettivamente le forme
seguenti:

$\displaystyle 5k, \, 5k+1, \, 5k-1$.

Vedo così che $\displaystyle n^5-n$ è sempre un multiplo di $5$: infatti, per $\displaystyle n = 5h$
o $\displaystyle n = 5h\pm 1$ è divisibile per $5$ il prodotto $\displaystyle n(n-1)(n+1)$, mentre
per $\displaystyle n = 5h\pm 2$ lo diviene $\displaystyle n^2+1$.

Poiché $2$ e $5$ sono primi fra loro, il numero $\displaystyle n^5-n$ dev'essere un multiplo
di $2\cdot 5 = 10$.


(Bruno)
Allegati
gelato.jpg
gelato.jpg (41.75 KiB) Visto 5321 volte
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

0-§
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 454
Iscritto il: ven nov 18, 2005 10:33 pm
Località: Bologna

Messaggio da 0-§ »

Wow!Il gelatone di Bruno é stupendo,grazie all'autore per averlo postato!
Anche meglio di quello del Gelatauro... :lol:
Bon,saluti e baci e grazie di nuovo!
Zerinf
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.

-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2853
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Messaggio da Pasquale »

Va bene Bruno, il tuo procedimento è più generale, però debbo dire che essendo $n^5 - n = n(n^4 - 1)$, alla luce di quanto illustrato da Leandro nel topic dal titolo "5 no, ma 50 si!", sappiamo subito che $n^4-1$ è divisibile per 5 e dunque n^5-n è divisibile per 10, in quanto pari.
Volevo aggiungere che magari potresti ridurre le dimensioni del gelato, perché penso che a 0-§ possa far male al pancino.
_________________

$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bloccato