Si lanciano 2 dadi e si considerano gli eventi seguenti:
A="La somma dei punti delle due facce è 7, sapendo che su una di esse è uscito 3 "
A="La somma dei punti delle due facce è 7, sapendo che sulla prima di esse è uscito 3 "
B="La somma dei punti delle due facce è 7, sapendo che sulla seconda di esse è uscito 3 ".
Contando i casi possibili e i casi favorevoli calcolo le probabilità:
P ( E ) = 2 : 11
P ( A ) =P ( B) = 1 : 6
Osservo che "sapere che su una faccia è uscito 3" equivale a "sapere che sulla prima faccia è uscito 3 o sulla seconda faccia è uscito 3 ".Quindi l'evento E è l'unione degli eventi incompatibili A e B, per cui posso calcolare la probabilità di E come probabilità totale:
P ( E ) = P ( A ) +P ( B) = 2 : 6.
Questo risultato però è diverso dal precedente.
Cosa c'è di sbagliato nel mio ragionamento?

uhm.... vediamo di riscriverlo: si tratta di 21 possibilita`totali (1+2+3+4+5+6):

la probabilita`che il primo dado sia 3? 4/21 = 1/7 + 1/21
la probabilita`che il secondo dado sia 3? 3/21 = 1/7
la probabilita`che uno dei due sia 3? 7/21 = 1/3

quindi p(A) e p(B) non sono uguali.... si tratta della probabilita` che entrambi i dadi siano 3 va contata solo nel primo caso.

ecco infatti l'errore: ecco la probabilita`calcolata nel problema, proviamo ad analizzarla:
1/6 = 7/42 = 3.5/21 = 1/7 + 0.5/21

ecco che la probabilita`doppia viene divisa a meta`fra i due eventi, cosa che e`impossibile

Grazie per l'intervento.
Non riesco però a seguire il ragionamento. Perché le possibilità sono 21?
Nel lancio di due dadi lo spazio campione è formato dalle 6x6=36 coppie ordinate di possibili risultati:
(1,1) (1,2) ... (1,6) (2,1)... (2,6)....(6,1)... (6,6).

ciao Fraciccio,
intanto benvenuto al forum

poniamo che uno dei 2 dadi venga 1, l'altro puo`essere da 1 a 6
poniamo che uno dei 2 sia 2 come risultato, l'altro puo`essere da 2 a 6 (se fosse 1 entreresti nel primo caso, io non ho specificato di quale dado si tratti ma ho detto genericamente un dado)
poniamo che uno dei due sia 3, l'altro puo'essere da 3 a 6 come risultato
poniamo che uno dei due sia 4, l'altro puo'essere da 4 a 6 come risultato
poniamo che uno dei due sia 5, l'altro puo'essere da 5 a 6 come risultato
poniamo che uno dei due sia 6, l'altro puo'essere solo 6.

tutte le possibilita`sono state incluse nei casi precedenti (ti ricordo che non ti ho detto di quale dado dei 2 si tratti ma ho parlato di un dado, quindi nel momento in cui li lancio c'e`un primo step di riordino dei dadi, se per esempio il primo e`3 e l'altro e`1 io ho gia`considerato il caso come un dado 1 e l'altro 3)

ecco perche`21, 21 e`la somma dei numeri da 1 a 6

Benvenuto, Fraciccio.

Il titolo del tuo post riporta la locuzione "probabilità condizionata" ma in verità, in verità ti dico che non esiste una "probabilità incondizionata". E' sempre preferibile esplicitare tutte le informazioni sulla base delle quali assegnamo le probabilità.

L'ipotesi di fondo viene da te esplicitata nel secondo post

$H_{0} \equiv \text{"il lancio dei due dadi è tale da generare 36 coppie di numeri in modo indipendente} \\\text{ e senza fornire alcuna informazione che ci possa far preferire una delle coppie"}$

Le altre tue ipotesi sono

$\begin{array}{lC}
H_{1} \equiv \text{"il numero 3 è mostato dal primo dado"} \\
H_{2} \equiv \text{"il numero 3 è mostato dal secondo dado"} \\
H_{3} \equiv \text{"il numero 3 è mostato da almeno dado"}
\end{array}$

E' senz'altro vero che $H_{3} = H_{1} \vee H_{2}$ ovvero che

$\text{"il numero 3 è mostato da almeno dado"} \equiv \text{"il numero 3 è mostato dal primo dado" O "il numero 3 è mostato dal secondo dado"}$.

Assegni correttamente le probabilità

$\displaystyle p\left(S\middle|H_{1}\wedge H_{0}\right) = p\left(S\middle|H_{2}\wedge H_{0}\right) = \frac16$

e

$\displaystyle p\left(S\middle|H_{3}\wedge H_{0}\right) = \frac 2{11}$

dove $S \equiv \text{"la somma dei due dadi è 7"}$.

Quello che proprio non va bene è la conclusione che trai

$\displaystyle \frac 2{11} = p\left(S\middle|H_{3}\wedge H_{0}\right) = p\left(S\middle|H_{1}\wedge H_{0}\right) + p\left(S\middle|H_{2}\wedge H_{0}\right) = \frac13$

Infatti, probabilità condizionate a ipotesi diverse non sono tra loro commensurabili e non possone essere ne sommate ne uguagliate. Quello che devi fare è utilizzare le regole della teoria della probabilità per trasformare le tue probabilità in probabilità condizionate dalle stesse ipotesi che possono quindi essere messe in relazione.

Utilizzando la regola del prodotto, $p\left(A\wedge B\middle|H\right) = p\left(A\middle|H\right)\times p\left(B\middle|A\wedge H\right)$, ottieni

$\displaystyle p\left(S\wedge H_{1}\middle|H_{0}\right)=p\left(H_{1}\middle|H_{0}\right)\times p\left(S\middle|H_{1}\wedge H_{0}\right)$

$\displaystyle p\left(S\wedge H_{2}\middle|H_{0}\right)=p\left(H_{2}\middle|H_{0}\right)\times p\left(S\middle|H_{2}\wedge H_{0}\right)$

$\displaystyle p\left(S\wedge H_{3}\middle|H_{0}\right)=p\left(H_{3}\middle|H_{0}\right)\times p\left(S\middle|H_{3}\wedge H_{0}\right)$

tre probabilità condizionate alla stessa ipotesi. Queste tre probabilità sono legate in quanto $H_{3} = H_{1} \vee H_{2}$ e possiamo scrivere

$\displaystyle p\left(S\wedge H_{3}\middle|H_{0}\right)=p\left(S\wedge \left(H_{1} \vee H_{2}\right)\middle|H_{0}\right)=p\left(S\wedge H_{1}\middle|H_{0}\right)+p\left(S\wedge H_{2}\middle|H_{0}\right)$

quindi, con facile algebra

$\displaystyle p\left(S\middle|H_{3}\wedge H_{0}\right)=\frac{p\left(H_{1}\middle|H_{0}\right)\times p\left(S\middle|H_{1}\wedge H_{0}\right)+p\left(H_{2}\middle|H_{0}\right)\times p\left(S\middle|H_{2}\wedge H_{0}\right)}{p\left(H_{3}\middle|H_{0}\right)}$

Ma

$\displaystyle p\left(H_{1}\middle|H_{0}\right) = p\left(H_{2}\middle|H_{0}\right) = \frac 6{36}$

e

$\displaystyle p\left(H_{3}\middle|H_{0}\right) = \frac{11}{36}$

per cui

$\displaystyle p\left(S\middle|H_{3}\wedge H_{0}\right)=\frac{\frac 16 \times \frac 16 + \frac 16 \times \frac 16}{\frac {11}{36}} = \frac 2{11}$

come doveva essere.

ciao panurgo,
ecco da dove salta fuori l'1/6, io pensavo che fosse sbagliato e ho ragiornato con le probabilita`che non dipendono dalla posizione, adesso tutto ok ma non capisco.... e`giusto ragionare con le 21 possibilita`come ho fatto io? Dove e`sbagliato il mio ragionamento?

Grazie

Grande panurgo, hai "condizionato" tutto il mio ragionamento
Mancava l'esplicitazione di H_{0}, il che ha indotto al confronto tra probabilità condizionate a ipotesi diverse.
La tua esposizione è stata molto interessante e precisa.

In un caso così semplice il problema può essere affrontato graficamente. Le varie ipotesi sono riportate in figura
L'ultima ipotesi è quella di Info. Ci sono due modi di intenderla: 1) i due dadi sono distinguibili e, ad ogni lancio, se il valore del secondo dado è minore di quello del primo lanciamo di nuovo e 2) i dadi sono indistinguibili e consideriamo come primo dado il dado con il risultato minore.
Le due accezioni hanno conseguenze molto diverse perché nel primo caso abbiamo $21$ esiti possibili (posterò altro sull'argomento, ora non ho tempo) mentre nel secondo caso la frequenza degli esiti sulla diagonale sarà metà di quella degli altri per cui non possiamo assegnare uguale probabilità.