Senza trigonometria e senza parole
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Senza trigonometria e senza parole
Siccome sono stato via per un po', non so se questi due problemi (simili, ma diversi nella soluzione) siano già stati postati; spero vi piacciano.
Come da titolo, bisogna risolverli senza ricorrere alla trigonometria: insomma, solo geometria da scuole medie.
N.B.: Io ho la soluzione solo del primo dei due; per il secondo ho un indizio di come procedere, ma non una soluzione completa.
Enjoy!
Come da titolo, bisogna risolverli senza ricorrere alla trigonometria: insomma, solo geometria da scuole medie.
N.B.: Io ho la soluzione solo del primo dei due; per il secondo ho un indizio di come procedere, ma non una soluzione completa.
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Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
Re: Senza trigonometria e senza parole
Riguardo al secondo quesito credo che l'angolo EDC misuri 5°
Considerando che DE = DA perché raggi della stessa circonferenza di centro D, la misura di ogni angolo si calcola facilmente.
Riguardo al primo quesito, credo che l'angolo EDC misuri 20°, ma la mia dimostrazione risulta lunga e decisamente noiosa e spero che qualcuno abbia trovato una strada più breve da seguire...
Considerando che DE = DA perché raggi della stessa circonferenza di centro D, la misura di ogni angolo si calcola facilmente.
Riguardo al primo quesito, credo che l'angolo EDC misuri 20°, ma la mia dimostrazione risulta lunga e decisamente noiosa e spero che qualcuno abbia trovato una strada più breve da seguire...
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Re: Senza trigonometria e senza parole
Ivana, hai ragione su entrambe. Potresti però espandere la tua risposta alla seconda domanda? Come dimostri che DE=DA?
P.S. Posso confermare che la dimostrazione per il primo quesito non è breve, però è molto interessante
P.S. Posso confermare che la dimostrazione per il primo quesito non è breve, però è molto interessante
Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
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Re: Senza trigonometria e senza parole
Ah, eccone uno dello stesso tenore, se i primi due vi sono parsi troppo difficili. Anche qui si tratta di trovare un angolo e anche qui non si può usare nessuno strumento ignoto agli studenti delle medie.
Quanto vale l'angolo $\alpha$ in figura?
Quanto vale l'angolo $\alpha$ in figura?
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Lo scopo principale di una dichiarazione DATA è quello di dare dei nomi alle costanti; anziché inserire ogni volta 3.141592653589793 come valore di $\pi$, con una dichiarazione DATA si può assegnare tale valore alla variabile PI che può essere poi usata per indicare la costante. Ciò rende anche più semplice modificare il programma, qualora il valore di $\pi$ dovesse cambiare.
-Da un vecchio manuale FORTRAN della Xerox
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Re: Senza trigonometria e senza parole
Per il terzo quesito l'angolo richiesto misura 45° e si dimostra partendo dalla considerazione degli angoli alterni interni uguali ecc.
Anche per gli altri due quesiti aspetto che qualche volenteroso provveda alla dimostrazione...
Sono particolarmente impegnata per motivi familiari...
Anche per gli altri due quesiti aspetto che qualche volenteroso provveda alla dimostrazione...
Sono particolarmente impegnata per motivi familiari...
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Re: Senza trigonometria e senza parole
Riguardo al secondo problema un mio amico l'ha risolto facilmente ed elegantemente indicando con x l'angolo CDE e impostando l'opportuna equazione...
Se vorrete farò presto a trascrivere...
Edito
No... c'è un "errore", perché è stato usato un elemento ancora da "trovare"...
Se vorrete farò presto a trascrivere...
Edito
No... c'è un "errore", perché è stato usato un elemento ancora da "trovare"...
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Re: Senza trigonometria e senza parole
So che gli amanti della dimostrazione "classica" inorridiranno, ma personalmente credo che, ormai, il concetto di "dimostrazione", come aveva spiegato Claudio Bernardi (in un suo articolo in un notiziario UMI del 2012) ha assunto valori diversi (soprattutto per la scuola primaria e per la scuola secondaria di primo grado)... Inoltre anche il concetto di "rigore", come ha scritto Bruno D'Amore (nei suoi "Scritti di Epistemologia Matematica") non è uno standard qualitativo stabile, ma soltanto un insieme di accordi variabili nel tempo e nello spazio...
Premesso questo, spiego velocemente (per quanto riguarda il secondo problema) la mia "dimostrazione concreta per costruzione", "visiva" e... "di sinistra" (Avevo già segnalato il libro "Matematica stupore e poesia" di Bruno D'Amore").
Non inserisco neanche l'immagine, perché l'avevo realizzata in modo troppo veloce, e, per ora, non ho tempo per renderla "pubblicabile"...
Mi attengo all'immagine (del secondo quesito) già inserita in questo "filo":
Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza; prendo su DB il segmento DG=DE
Costruendo l'asse di ognuno dei due segmenti GE e AE si constata che tali assi s'incontrano nel punto D
Poiché D è il punto dell'asse di AE si ha DE=DA
Il calcolo della misura degli angoli è talmente semplice che ritengo superfluo descriverlo...
Premesso questo, spiego velocemente (per quanto riguarda il secondo problema) la mia "dimostrazione concreta per costruzione", "visiva" e... "di sinistra" (Avevo già segnalato il libro "Matematica stupore e poesia" di Bruno D'Amore").
Non inserisco neanche l'immagine, perché l'avevo realizzata in modo troppo veloce, e, per ora, non ho tempo per renderla "pubblicabile"...
Mi attengo all'immagine (del secondo quesito) già inserita in questo "filo":
Per tre punti non allineati passa una e una sola circonferenza; prendo su DB il segmento DG=DE
Costruendo l'asse di ognuno dei due segmenti GE e AE si constata che tali assi s'incontrano nel punto D
Poiché D è il punto dell'asse di AE si ha DE=DA
Il calcolo della misura degli angoli è talmente semplice che ritengo superfluo descriverlo...
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Re: Senza trigonometria e senza parole
Inserisco l'immagine, relativa al problema 2 e chiedo: qual è il simbolo più usato per indicare l'angolo?
Personalmente preferisco quello più corto (come si usava, per esempio, nei manuali scolastici di mia figlia), ma credo che attualmente sia preferibile (per motivi di economia?) l'uso del codice presente nel "Tutorial sulla scrittura delle formule con TeX e MathJax" predisposto da Pietro nei "Collegamenti rapidi".
Mi ha incuriosita constatare come un determinato simbolo possa presentare forme diverse (tutte valide!) in uno stesso registro figurale (in questo caso geometrico)...
Personalmente preferisco quello più corto (come si usava, per esempio, nei manuali scolastici di mia figlia), ma credo che attualmente sia preferibile (per motivi di economia?) l'uso del codice presente nel "Tutorial sulla scrittura delle formule con TeX e MathJax" predisposto da Pietro nei "Collegamenti rapidi".
Mi ha incuriosita constatare come un determinato simbolo possa presentare forme diverse (tutte valide!) in uno stesso registro figurale (in questo caso geometrico)...
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"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)
Re: Senza trigonometria e senza parole
Lo so, sto prendendo in considerazione “dimostrazioni NON classiche”, che potrebbero essere definite, dai “puristi della matematica” (giustamente amanti delle dimostrazioni classiche, “canoniche”), “pseudo dimostrazioni”, ma le ritengo molto divertenti, semplici, veloci, “costruttive e visive”, chiare e alla portata dei/delle ragazzini/e, di scuola secondaria di primo grado, che usano, per esempio, cabri o geogebra, oppure soltanto carta, matita, squadra e compasso.
Anche il terzo problema si può risolvere in modo “costruttivo, visivo”, constatando (sempre con la costruzione degli assi ecc.) che il triangolo DIB è un triangolo rettangolo (perché inscritto in una semicirconferenza) e che gli angoli AID e AIB sono congruenti perché insistono su archi congruenti (a corde congruenti corrispondono archi congruenti).
Anche il terzo problema si può risolvere in modo “costruttivo, visivo”, constatando (sempre con la costruzione degli assi ecc.) che il triangolo DIB è un triangolo rettangolo (perché inscritto in una semicirconferenza) e che gli angoli AID e AIB sono congruenti perché insistono su archi congruenti (a corde congruenti corrispondono archi congruenti).
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- Problema 3.jpg (31.81 KiB) Visto 8393 volte
"L'essenza della matematica è la libertà" (Georg Cantor)